[기본개념] 조화수열, 조화수열을 나타내는 점화식

포스트 내용

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조화수열 학습의 필요성

 조화수열에 대해서 봅니다. 조화수열은 교과서에는 직접적으로 언급이 된 것은 아니나 역수가 등차수열인 경우를 다루는 것이 있어서 그것을 다루고자 합니다. 즉 이 부분은 수능을 준비하는 학생도 공부를 할 필요가 있습니다. 처음에는 교과서에 언급이 되지 않아서 수능에 나오지 않을 것이라고 생각을 했었지만 다른 교과서를 보니 충분히 나올 수 있는 내용으로 판단이 되었습니다.

조화수열이란

 조화수열은 역수가 등차수열인 수열을 말합니다. 예를 들어

수열 이 

라고 합시다.

이 수열의 역수는

 으로 표현할 수 있고 이 수열은

 가 되어

등차수열이 됩니다.

이처럼 

 와 같이 이 수열의 각 항의 역수를 취했을 때 등차수열을 이루면 이를 조화수열이라고 합니다.

 아 그렇게 어려운 수열은 아니네요.

 유진이야 공부를 잘하니까 그렇지. 그런데 여러분 들도 쉽죠?

새로운 용어가 나오면 뭔가 그럴싸 하지만 알고 보면 간단한 내용들이 계속 연결이 되는 것이죠? 나만 그런가? 그렇지 않죠?

조화수열을 나타내는 점화식

 등차수열을 나타내는 점화식은

정의에서

중항의 관계에서

였습니다. 

그렇다면 조화수열을 나타내는 점화식은 위의 공식에서 대신 을 넣으면 되겠죠?

따라서 아래와 같이 정리 할 수 있습니다.

해법 1. 치환을 이용한 해결

그렇다면 조화수열 꼴로 나타내어진 점화식을 해결하는 방법에 대해서 알아보는데 치환을 이용하여 해결해 봅시다.

  , 일 때 의 일반항을 구하시오.

 

 해결방법은 정해진 STEP에 맞춰서 하면 되겠죠? 카라의 정신 이 필요하겠죠?

STEP1. 으로 치환한다.

 에서 으로 치환하여 봅시다.

그러면 이 됩니다.

STEP2.  의 일반항을 구한다.

 는 공차가 인 등차수열이므로

 

STEP3.  대신 을 다시 대입하여 정리한다.

 이고 문제에서 이므로

 이고 대신에 을 에 대입하면

 

 

위의 방법 대로 하면 됩니다.

해법 2. 공식을 이용한 직접해결

 위의 방법을 열심히 하다 보면 꼴에서의 일반항 은

 가 됩니다. 그냥 달달 암기 할 바에야 위의 치환을 이용한 풀이를 기억하는 것이 좋습니다. 치환을 열심히 하다 보면 이 단계로 바로 뛰어 넘을 수 있겠죠?

그렇다면 위의 문제를 다시 보면

  , 일 때 의 일반항을 구하시오.

 

공식을 이용하면

가 되어

 

 

응용형 1

 그렇다면 이런 수열의 형태는 어떤 식으로 변형되어 출제가 될 수가 있을 까요? 분수형으로 표현 될 때가 됩니다.

 와 같은 점화식이 있을 때는

양변의 역수를 취하면

이 되어

방금 꼴이 되어 조화수열의 점화식으로 바뀝니다.

보통 분수로 표현된 경우는 역수를 취하는 경우가 많습니다.

특히 꼴일 때는 조화수열의 점화식입니다.

응용형 2

  응용형은 모두 식의 변형과 관련된 내용입니다.

 

위의 점화식은 양변을 로 나누면

  이므로

이므로 수열 은 조화수열이 됩니다.

보통 점화식 문제에서 에 대한 식의 곱으로 표현된 경우는 나누면 쉽게 보이는 경우가 있습니다.

연습문제

 이를 이용하여 연습문제를 보도록 합시다.

 예제 1

  로 정의 되는 수열 에 대하여 의 값은?

 예제 1 풀이

 으로 놓으면 이므로

은 첫항이 이고 공차가 3인 등차수열이다.

 

 

 예제 2

 으로 정의 되는 수열 에 대하여 의 값을 구하시오.

 예제 2 풀이

 의 양변을 로 나누면

 , 즉 이므로 수열 은 첫째항이 , 공차가 인 등차수열이다.

 

 예제 3

 ()으로 정의 되는

수열 에서 는 제 몇 항인가?

 예제 3 풀이

의 역수를 취하면,

 이므로

수열 은 첫째항이 이고

공차가 인 등차수열이다.

 

 

 에서  

따라서 는 제 52항이다.