[기본개념] 부분분수와 시그마

 이번 시간에는 를 계산 할 때 부분분수를 이용하여 수열의 합을 계산 하는 방법을 배우게 됩니다. 수열의 합을 계산할 때는 항을 한 개 또는 두 개 차이가 나도록 두 개의 항을 분리 하는 방법을 쓰는 데, 이를 이항분리라고 합니다. 그 중에서 대표적인 부분분수를 이용하여 수열의 합을 구하는 방법에 대해서 살펴 보고자 합니다.

혹시 시그마가 아니고 부분분수에 대한 내용만 보려면 여기를 누르긔

부분분수의 공식을 보겠습니다.

 이를 통해서 분수 꼴로 표현된 수열의 합을 쉽게 계산 할 수 있다는 이야기입니다.

예를 들어 보도록 하겠습니다.

 을 계산 하라고 하는 문제가 있다고 합시다.

분모를 로 고쳐서 분모를 따로

로 계산 하면 The sound of dog가 되겠죠?  처음에 많이 하는 실수죠?

<지나가던 개> 난 풀이 너무 좋아
개풀 뜯어 먹는 소리

 

 

 

1. 항이 하나 차이 날 때

  처럼

분모에 에 대한 식이 있는 경우는 다른 방법이 필요 합니다. 로 계산하기 편한 형태만 고등학교에서 다루게 되고 대표적인 것이 부분분수입니다.

이를 부분 분수를 통해서 해결하면

 로 고치면 되겠죠?

그러면 이 식을 앞부분과 뒷부분을 따로 따로 생각하여 계산하면

이 되어서 두 식을 빼어서 생각 하면 위의 식에서는 앞 항이 하나 남고 아래 식에서는 뒤의 항이 하나 남아서

이 됩니다.

이런 식으로 항이 하나(또는 두 개) 만 차이 나면서 빼는 형태로 만들어 버리면 를 계산하는데 편리 할 것입니다.

2. 항이 두 개 차이 날 때

  를 생각 해 봅시다.

이를 부분분수로 고치면 , 로 생각하면

이 됩니다.

따라서 

입니다. 역시 마찬가지로 뒤에 있는 두 식을 따로 생각 하면

이 되어 위의 식에서 아래의 식을 빼면 앞에는 두 개의 항 뒤에는 두 개의 항이 남아서

  

가 되겠죠?

그러면 아래 문제를 보고 해결합시다.

의 값은?

 

의 값을 구하시오.

자연수의 거듭제곱의 합의 공식이 필요한 부분이죠?

3. 세 항의 곱으로 이루어진 부분분수

 교육청 모의고사 까지는 출제 된 적이 있으나 평가원이나 수능에서는 출제 된 적이 없는 부분으로 참고로 정리 하도록 하겠습니다. 고등학교 내신을 대비 한다면 꼭 해야 되는 부분이죠.

 가 되는데 이를 증명하는 것은 그렇게 어렵지 않습니다. 우변을 통분하기만 하면 좌변이 되죠?

를 위의 공식에 따라 부분분수로 쪼개면

가 됩니다.

이라 하면

이 되어

꼴을 만들 수 있어 계산을 편하게 할 수 있습니다.

부분분수든지 뭐든지 계산을 편하게 하기 위해서는 위의 식처럼 항이 한 개 차이 나면서 빼기 형태로 만들면 쉽게 해결을 할 수 있는 것이죠?

그러면 

를 한번 계산 해 볼까요?

 

이므로 

이를 다시 쪼개지 말고 그대로 계산 하면

앞에 있는

꼴이고

이므로 

각각 위에서 아래를 빼면 항이 한 개씩 남게 됩니다.

따라서 

 

 

가 되겠습니다.