[기본개념] 여러가지 점화식 1. an+1=an+f(n) , 축차대입법
포스트 내용
여기는 여러 가지 점화식 중에서 꼴의 점화식 풀이와 축차대입법에 대해서 설명이 되어 있습니다. 그 외 다른 점화식의 내용을 보려면 여기를 누르세요.
계차수열 복습
계차수열이란 말은 이번 교육과정에서 제외 되었지만 꼭 알아야 될 내용이라고 생각이 됩니다. 그 부분부터 먼저 보시고 오면 아래의 내용을 조금 더 깊고 재미있게(?) 학습할 수 있을 것입니다. 모르면 여기를 클릭
앞으로 배울 점화식
여러 가지 점화식 형태에서 우리가 다루고자 하는 내용은 세가지입니다. 이를 점화식 1, 2, 3번으로 분류하여 접근을 하게 됩니다.
점화식 I 은 꼴이고
점화식 II는 꼴
점화식 III은 꼴입니다.
점화식 IV는 일부 참고서에만 있는 내용으로 으로 이는 참고사항으로 일단 강의는 올리겠지만 교과과정에는 설명이 되어 있지 않은 부분입니다.
점화식 I
그러면 본격적으로 점화식 I에 대해서 알아봅시다. 우리가 배울 점화식은 꼴의 점화식입니다. 이를 해결하는 방법은 두 가지가 있습니다. 첫 번째는 계차수열의 일반항을 이용하여 해결하는 것이고 두 번째는 축차대입법을 이용하는 것입니다.
해결법 1. 계차수열의 일반항을 이용
우리는 계차수열 시간에 수열 의 계차수열을 라 할 때 아래 두가지 성질을 배운 적이 있습니다. 계차수열의 정의에서 나온
첫번째공식 와
계차수열을 이용하여 수열 을 구하는 방법으로 두 번째 공식
입니다.
위 두가지를 이용하여 쉽게 해결 할 수 있습니다.
꼴로 주어진 점화식에서 우변의 을 좌변으로 이항하면
입니다. 여기서 이라는 것은 방금 언급한 의 공식 과 의 공식과 비교를 하면 입니다.
따라서 우리는 의 공식에 대신 를 대입하면
가 유도됨을 알 수 있습니다.
이를 정리 해 볼 까요?
해결법 1을 이용하여 예시
방금 배운 것은 공식을 유도한 것입니다. 이 공식을 이용하여 문제를 해결할 수도 있습니다. 예를 들어 볼까요?
, 일 때 의 일반항을 구하시오.
꼴이라고 했습니다. 위의 문제에서 이라고 되어 있는데 에 해당되는 것은 무엇입니까? 그렇습니다. 입니다.
이를 공식 에 대입하여 정리하면 됩니다.
이므로
즉,
이고 나머지는 연산군의 정신 을 이용하여 해결하면 되겠죠?
입니다. 이를 자연수의 거듭제곱의 합을 이용할 수도 있겠지만 직접 에 를 대입합시다.
그러면 이므로
가 됩니다.
해결법 2. 축차대입법
이제 여러분들이 더 중점적으로 보아야 될 축차대입법을 이용하여 해결하는 방법입니다. 축차대입법이란 어떤 식이 있을 때 그 식의 어떤 변수에 을 대입하여 변변 더하거나 곱하여 식을 정리하는 방식으로 교육과정에서 아주 중요하게 생각 되는 것입니다. 그래서 수능등 큰 시험으로 갈수록 이 방법이 상당히 중요합니다. 여러분들의 교과서를 봐도 수열의 문제는 축차대입법이나 직접 숫자를 대입하여 값을 찾아서 규칙성을 찾는 문제가 주가 되지요.
에서 해결법 1에서 얻은 공식 을 유도한 과정을 정리 해 봅시다.
위에서 증명하는 과정을 유심히 보면
빨간색 안에 있는 내용들 보이시죠? 를 대입하여 변변 더했습니다. 이렇게 식을 정리하는 방법이 어떤 방법이라구요?
아 뭐였더라??
축차대입법이었잖아. 집중 좀 해!!!
그래 찰스야 집중 좀 해라. 나중에 하려고 하는 것 보다 지금 강의 시간에 집중을 하는 것이 하이머딩거의 선택 이죠. 정말 현명한 선택이예요~!!
그러면 이 식에서 각 항을 변변 더하면 식이 간단해 지는 이유는 알겠나요?
양변을 변변 모두 더하면 위의 빨간색 부분이 사라지면서 간단한 식으로 정리 됨을 알 수 있습니다.
해결법 2를 이용하여 문제에 적용하기
축차대입법을 이용하여 방금 했던 문제를 다시 적용해 봅시다.
, 에서
을 대입하면
를 대입하면
을 대입하면
대신 을 대입하면
이런 후 양변을 변변 더하면
남는 것은 무엇인가요?
따라서 이 됩니다.
여기서 이므로
가 되겠죠?
축차대입법은 개중요하니까 반드시 이 방법으로 연습을 해야 됩니다. 공식만을 외워서는 어려운 문제에 적용이 안 됩니다.
연습문제
예제 1.
, (, , , )를 만족 할 때 수열 의 일반항을 구하시오.
풀이 1 : 계차수열
에서 이므로
풀이 2 : 축차대입법
을 변형하면
위의 등식의 에 , , , , 을 차례로 대입하면
위의 개의 등식을 변끼리 더하면
이므로
이 식은 일 때도 성립하므로 수열 의 일반항은
위의 풀이에서 일 때로 식을 구하고 과 비교하게 되는 과정이 있는데 이 부분에 대해서는 시간이 되면 엄밀하게 보도록 하겠습니다. 수능을 대비할 때는 이 부분이 그렇게 중요하지는 않으나 서술과정을 쓸데는 이렇게 쓰는 것이 맞습니다. 수열에서는 같은 것은 정의 되지 않기 때문입니다.
예제 2.
, 으로 정의 되는 수열 에 대하여 의 값은?
풀이
, 즉 에서
수열 은 수열 의 계차수열이므로
예제 3
로 정의되는 수열 에 대하여 의 값은?
풀이
이므로
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