[기본개념] 경우의수, 합의 법칙, 곱의 법칙

 

포스트내용

경우의 수의 합의법칙과 곱의 법칙에 대한 강의 입니다. 그 외 순열과 조합에 관련된 강의는 이 곳을 클릭 하세요.

 

 

 경우의 수 첫 시간입니다. 먼저 사건과 경우의 수란 것이 무엇인지에 대해서

살펴보겠습니다.

주사위를 던졌을 때 짝수가 나오는 사건을 생각 합니다. 주사위를 던졌을 때

짝수가 나오는 경우는 이 있지요.

이들 결과를 집합으로 표현하면 입니다.

이를 사건이라고 합니다.

즉, 어떤 실험이나 관찰에서 주어진 조건을 만족하는 집합을 사건이라고 하는데

이 정의에서 “집합”이라는 말에 주목을 할 필요가 있습니다.

  경우의 수가 3가지 라는 것은 이미 중학교때 배웠는데

이를 고등학교 과정에서 생각한다면 방금의 경우에서

원소나열법으로 라고 했으므로 이 원소들의 개수는 3개가 됩니다.

그러므로 경우의 수는 3가지입니다.

이렇게 집합으로 표현 하는 것이

조금 더 정확한 의미로 “경우의 수”라고 말 할 수 있는 것입니다.

 용어 하나하나를 소중히 하는 마음이 있어야 합니다.

확률과 통계 부분은 수학적인 사고도 중요하지만

용어 자체의 의미를 정확하게 알고 있는지가

이 단원을 정확하게 마스터 하는데 핵심이 되거든요.

 경우의 수 첫 시간이니 그렇게 문제가 어렵지는 않을 것입니다.

“집합”과 연관지어 아래의 문제를 풀어 보세요.

 

 1에서 10 까지의 숫자가 적힌 10장의 카드에서 임의로 한 장을 뽑을 때, 다음 경우의 수를 구하시오.

1)  짝수가 나오는 경우의 수 

2) ​ 7이상의 수가 나오는 경우의 수

 

1)  짝수가 나오는 사건은 이므로 경우의 수는 5가지 이다.

2)  7이상의 수는 이므로 4가지 이다.

​ 

 합의 법칙이란 말 그대로 동시에 일어나지 않는 사건들에 대해서

 모든 경우의 가짓수를 빠짐없이 더하여 경우의 수를 구하는 것을 말합니다.

​

​두 사건에서 "또는"이란 말이 있을 때 합집합의 원소의 개수를 구하는 것과 같습니다.

​

​

​

​

 두 사건 에 대하여 합집합 의 원소의 개수는

입니다. 여기에서 우리는 합의 법칙은

합집합의 원소의 개수를 구하는 것과 같다는 것을 알게 됩니다.

​

동시에 일어 날 수 없는 사건의 경우에 이 됩니다.

이 경우는 두 사건의 경우의 수를 더하면 될 것이고

​ 

동시에 일어나는 경우가 있는 경우는 동시에 일어나는 경우를 빼면 됩니다.

예를 들어, 주사위를 던졌을 때 짝수의 눈이 나오거나

소수의 눈이 나온다고 한다면 짝수의 눈이 나오는 사건을 ,

소수의 눈이 나오는 사건을 라고 하면

​

에서 중복되는 원소는 ,

이를 집합으로 표현하면  가 됩니다.

따라서 가 됩니다.

​ 

합의 법칙에서는 두 사건이 중복이 되는지 되지 않는지를 반드시 따져야 되겠죠?

중복이 되는 경우의 수를 제외 하는 것이 포인트가 되겠습니다.

 서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 눈의 수의 합이 4의 배수가 되는 경우의 수는?

 이고 이므로

 

1에서 100 까지의 자연수 중에서  4또는 5로 나누어떨어지는 수의 개수는?

4의 배수의 집합을 , 의 배수의 집합을 라 하면

 

​

 

 ,

​

이 때, 는 4와 5의 최소공배수인 20의 배수의 집합이므로

따라서, 4 또는 5로 나누어 떨어지는 수의 개수는

​

 

          

40개 이다.

 두 사건 가 동시에 일어나거나 연속적으로 일어나는 경우를 생각 해 봅시다.

예를 들어 100원 짜리 동전 한 개

50원 짜리 동전 한 개

10원 짜리 동전 한 개가 있습니다.

이 동전을 동시에 던질 때 일어나는 경우의 수를 구해보면

 

100원짜리 동전이 앞이 나오는 경우에

50원 짜리 동전이 앞 또는 뒤가 나올 수 있습니다.

50원 짜리 동전이 앞이 나올 때

10원 짜리 동전이 앞 또는 뒤가 나올 수 있습니다.

위의 표와 같이 100원 짜리 동전이 앞면이 나오는 경우는 4가지가 됩니다.

또한 100원 짜리 동전이 뒷면이 나오는 경우도 4가지 이므로 총 8가지가 됩니다.

동전이 앞이나 뒤인지에 따라 각각 2가지 이므로

방금 구한 경우의 수는

이 되어 8가지가 된 것입니다.

 간단한 문제 하나 풀겠습니다.

학교에서 집으로 가는 길은 4가지,

집에서 서점으로 가는 길은 3가지가 있을 때,

학교에서 집을 거쳐 서점까지 가는 방법의 수를 구하시오.

  

​

​

​

다음 그림과 같은 도로망에서 도시에서 도시로 가는 모든 방법의 수는?

풀이

(ⅰ) 인 경우 : 가지

(ⅱ) 인 경우 : 가지

따라서, 구하는 방법의 수는 가지 

​

​

​ 

 

 10원 짜리 동전 3개, 50원 짜리 동전 2개 , 100원 짜리 동전 1개가 있다. 일부 또는 전부를 사용하여 거스름돈 없이 지불 할 때, 다음을 구하시오.

1) 지불 방법의 수 

2) 지불 할 수 있는 금액의 수

​

​

​

​

​

1) 각각의 지불 방법을 생각하면

  100원 짜리 2가지, 50원 짜리 3가지, 10원짜리 4가지 방법이 있고 0원을 지불하는 경우는 없으므로 가지 

2)​  100원 짜리로 만들 수 있는 금액
  원의 2가지

원 짜리로 만들 수 있는 금액
  원의 3가지

원 짜리로 만들 수 있는 금액
  원의 4가지

그런데 ㉠,㉡의 경우 100원이 중복 되므로

100원 짜리를 50원 짜리 2개로 교환한다고 생각한다.

그러므로 위의 문제는 50원 짜리 4개와 10원 짜리 3개의 지불 방법의 수와 일치한다.

50원 짜리 지불방법 개의 5가지

원 짜리 지불방법 개의 4가지

모두 0개씩인 경우 1가지

따라서 구하는 방법의 수는 가지