[기본개념] 순열의 뜻

내용 설명

 이 포스트의 내용은 순열을 처음 배우는 사람에게 적합한 포스트입니다.
순열의 뜻과 순열의 계산 방법과 언제 순열을 사용하는지에 대한 내용입니다.  그 외 순열과 조합에 관련된 강의는 이 곳을 클릭 하세요.

1. 순열의 뜻

 순열이란 서로 다른 개 중에서 개를 택하여 일렬로 배열하는 경우를 말합니다. 기호로 이라고 표시 합니다. 이를 쉽게 예를 통해서 설명 하겠습니다.

예시 1

 가 적혀 있는 숫자카드가 있습니다. 이를 이용하여 세 자리 수를 만들 수 있는 방법은 몇 가지입니까? 라고 했을 때 중학교 2학년 때의 방법을 생각하면

백의 자리에 올 수 있는 경우의 수는 가지

십의 자리에 올 수 있는 경우의 수는 가지

일의 자리는 가지가 됩니다.

백의 자리에 숫자가 오는 경우 각각에 대해서 십의 자리에 올 수 있는 경우의 수가 가지 이므로 이는 곱의 법칙이 되겠죠?

따라서 이라고 할 수 있습니다.

기호로 표현 해 봅시다.

서로 다른 숫자 5개 중에서 3개를 택하여 일렬로 배열한 경우의 수 이므로

 

이라고 표현 할 수 있겠네요.

예시 2

 이제는 숫자가 이 있다고 합시다. 이를 통해서 만들 수 있는 천의 자리의 개수는 몇 가지가 되겠습니까? 라고 하면

천의 자리는 4가지 , 백의 자리는 3가지

십의 자리는 2가지, 일의 자리는 1가지가 됩니다.

따라서 마찬가지 방법으로 생각하면

 가지가 되겠습니다.

이를 기호로 표현하면 6개 중에서 4개를 택하여 일렬로 배열한 수 이므로

라고 표현 할 수 있습니다.

순열 기호 나타내기 연습

 그렇다면 이 아닌 숫자가 개 있습니다. 이를 가지고 만들 수 있는 백의 자리의 경우의 수는 몇가지가 되겠습니까?

그렇죠?

이 될 것이고 이를 직접 계산하면

이 됩니다.

연습문제 

다음 등식을 만족하는 또는 의 값을 구하시오.

1)

2)

1)

2)  

순열의 기호로 곱의 형태로 표현하기

 그러면 이제는 역으로 순열의 기호를 곱으로 표현해 봅시다.

는?

이것은 0 이 아닌 숫자 7개 중 4개를 택하여 일렬로 배열한 방법의 수입니다.

따라서 가 되겠습니다.

즉, 7부터 시작하여 숫자를 하나씩 줄여 나가면서 총 4개를 쓴 후 곱하기 기호를 나열한 것입니다.

그러면 아래와 같이 표현 할 수 있겠죠?

 

가 됩니다.

순열의 결과를 팩토리얼로 표현하기

 방금의 경우

에서 분자 분모에다 을 곱하면

이 되므로

으로 표현 할 수 있을 것입니다.

순열의 성질 문자로 일반화 하기

 그렇다면 여러분들은 을 일반화 할 수도 있을 것 같습니다.

 은 부터 시작하여 하나씩 줄여 나가면서 개를 배열하면 됩니다.

즉

이런 식으로 써 나가면 되죠?

이를 개를 써야 됩니다.

그렇다면 맨 마지막에 써야 될 것은 무엇입니까?

첫 번째 수 은

두 번째 수

세 번째 수

네 번째 수

 

이므로

 번째 수는

이 되죠?

즉, 을 써야 되겠네요.

그러므로 

이라고 표현할 수 있겠습니다.

팩토리얼 형태로 일반화하기

이거 기억 나죠?

그러면,

을 위의 방식으로 하려면 어떤 숫자를 위 아래에 곱해야 합니까?

 보다 작은 을 곱하면 됩니다.

그러므로 

이므로

 이 됩니다.

이 식은 나중에 응용문제에서 등장합니다. 그리고 내년 (올해는 2015년) 수능 부터는 팩토리얼 부분이 강화 될 수 밖에 없습니다. 이 부분은 잠시 1학년 과정에 있다가 다시 2학년 과정으로 올라간 것입니다. 나중에 여러분들이 기출문제를 풀 때 조금 오래된 문제들도 풀 수 있어야 하며 팩토리얼 연습은 확실하게 하셔야 됩니다.

이를 정리 하면서 나머지 성질도 같이 정리 하겠습니다.

  

입니다. 따라서 입니다.

 인데 이는 로 정의 되어 있죠. 그래서 이를 위의 성질 에 넣으면 됩니다. 이는 암기를 하는 것이 좋습니다.

순열은 언제 사용 되는가?

 이 부분을 처음 배울 때는 상당히 쉬워 보입니다. 그러나 나중에 조합, 중복조합, 중복순열등을 배우게 되면 언제 사용하는지가 참으로 어렵습니다. 그래서 여러분들은 처음 할 때 확실하게 알아야 됩니다.

순열은 서로 다른 개 중에서 개를 택하여 일렬로 배열하는 것이다. 라고 했습니다. 일렬로 배열한다는 말은 뽑은 것을 다르게 취급한다는 뜻입니다.

순서를 고려 한다는 뜻이죠. 뽑은 세 사람이 있으면 첫 번째 뽑은 사람 1등

2번째 뽑은 사람은 2등, 3번째 뽑은 사람은 3등이라고 생각 하여 뽑는 경우도 일렬로 배열하는 것과 같습니다.

 그런데 직위가 동등한 경우, 예를 들어 대표 3명을 뽑는 다고 했을 때는 순열을 사용하는 것이 아닙니다. 3명을 동등한 입장에서 뽑는 것이고 이는 조합의 단원에서 배우게 됩니다.

그러면 아래와 같은 경우는 순열로 사용할 수 있습니다. 아래에 있는 내용을 그냥 절대로 외우면 안 됩니다. 뽑는 것을 “다르게 생각한다.”, “순서를 고려해야 된다.”는 관점으로 이해를 하면 자연스러워 질 것입니다.

1) 12명으로 구성되어 있는 동아리에서 회장, 부회장, 총무를 선출하는 방법의 수는?

2) 어떤 철도 노선에는 10개의 역이 있다. 출발역과 도착역을 각각 다르게 표시하여 기차표를 만들려고 할 때, 만들 수 있는 기차표의 개수는? (단, 왕복표는 없다고 한다.)

  1)번의 경우는 직위가 다릅니다. 가 회장이 된 경우와 가 부회장이 된 경우는 다릅니다. 그래서 순열입니다. 따라서 이 됩니다.

2) 번의 경우는 부산-서울 과 서울-부산은 다릅니다. 그래서 순서를 고려해야 하므로 순열입니다. 따라서 입니다.

 쌤 이건 너무 당연해 보이는데요?

 아까 말했듯이 당연해 보이지만 방금 설명한 것 잘 기억해야 나중에 어려움이 없습니다.

다음 강의는 여러 가지 순열의 문제를 다루도록 하겠습니다.