[기본개념] 순열을 이용하여 경우의 수 구하기

 순열을 이용하여 경우의 수를 구하는 내용입니다. 순열을 공부 하지 않았다면 아래 내용을 먼저 읽어 보고 오는 것이 좋습니다.

 [기본개념] 순열의 뜻

 그 외 순열과 조합에 관련된 강의는 이 곳을 클릭 하세요.

 

포스트 내용 요약

1. 이웃하는, 이웃하지 않는 순열

2. 정해진 경우의 순열

3. “적어도”라는 말이 들어간 여사건을 이용한 순열

4. 연습문제로 4가지로 구성 되어 있습니다. 

이웃하는 순열

 예를 들어 여학생 2명, 남학생 4명을 세울 때, 남학생 끼리 이웃하여 서는 경우의 수를 구하라고 합시다. 이 때는 이웃하는 것을 한 묶음으로 생각하면 됩니다. 즉 아래 그림과 같이 생각 하면 되겠죠?

그러면 원래는 6명 이었지만 3명이라고 생각하면 됩니다.

이 세 명을 일렬로 나열하는 경우의 수는 이 됩니다.

이제 이웃하고 있는 남학생 네 명을 일렬로 배열하면 됩니다.

이때의 경우의 수는 이 되겠습니다.

 

세 묶음을 배열한 다음 다시 남자 네명을 배열하는 것이므로 연속하여 (잇달아)일어 나는 것이기 때문에 곱의 법칙이 됩니다. 따라서 이 때의 경우의 수는

 이 됩니다.

이웃하지 않는 순열

 이웃하지 않는 순열에 대해서 학습해 봅시다. 예를 들어 남학생 3명, 여학생 3명을 일렬로 세울 때, 여학생 끼리 이웃하여 서지 않는 경우의 수를 구해봅니다 .

이때는 먼저 남학생을 배열한 후 사이사이에 여학생을 배열하는 아이디어로 해결합니다.

위의 그림처럼 남학생을 먼저 배열하는 방법의 수는

이제 여학생을 배열해야 됩니다. 여학생을 배열 할 수 있는 자리는 위의 그림에서 빨간색으로 표현된 1,2,3,4, 네 자리가 있습니다. 여기서 3명을 배열해야 되는데 이 때 여학생 중에 한명이 소율이라고 하면 소율이가 1번자리에 오는 경우와 2번 자리에 오는 경우는 다른 것입니다. 그러므로 순서를 고려해야 되므로 순열의 개념을 이용해야 겠죠?

따라서 이 됩니다.

그러므로 구하는 경우의 수는 이 되겠습니다.

 쌤 소율이가 누구예요?

 크레용팝 소율이.

 엘린이 좋다면서요.

 당연하지. 근데 소율이도 좋아. 소율이 옆자리는 내 입장에서는 아주 좋은 자리니까. 자리가 달라지면 순서가 달라지니 순열을 써야 되지.

 결국은 수학이야기로 가는 군요. ㅎㅎㅎ

정해진 것부터 배열하기

 이미 정해진 것부터 우선적으로 결정한다는 아이디어는 당연한 것이지만 중요합니다.

예를 보겠습니다.

의 5개의 숫자를 모두 사용하여 다섯 자리의 정수를 만들 때, 양 끝에 소수가 오는 경우의 수는?

 문제에서 양 끝에 소수가 오는 경우의  수라고 했습니다. 그렇다면 양 끝에 소수를 먼저 배열하면 되겠죠? 양 끝은 두 자리가 있고 소수는 이렇게 3개가 있습니다. 그리고 앞 뒤 자리가 다르므로 순서를 고려해야 됩니다. 따라서 가지가 되겠죠?

그러면 두 개가 선택이 되었습니다. 따라서 남은 것이 세 개의 수입니다. 이를 일렬로 배열하면 의 가지가 됩니다.

따라서 구하는 경우의 수는 가지가 되겠습니다.

여사건의 이용

 적어도 라는 말이 들어 있으면 이것은 여사건을 이용하는 경우가 많죠. 문제가 어려워지면 여사건을 쓰는 것이 더 복잡한 경우도 아주 가끔씩 있습니다.  그래서 이런 문제를 풀 때도 반드시 여러 개의 경우를 분류를 하면서 여사건을 이용하는 것이 좋을 지를 판단해야 됩니다.

남학생 4명, 여학생 2명을 일렬로 세울 때, 적어도 한쪽 끝에 남학생이 서는 경우의 수는?

위의 문제를 해결할 때 생각 해 봅시다. 한 쪽 끝에 남학생 또는 여학생이 서는 경우를 분류해 봅시다.

위의 표와 같이 네 가지 경우가 있습니다. 이 중에서 적어도 한 쪽 끝이 남학생인 경우는 아래와 같습니다.

그러므로 이 문제의 경우는 여사건을 이용하여 전체의 경우에서 여학생이 양쪽 끝에 서는 경우의 수를 빼면 됩니다.

그러면 문제는 남학생 4명 여학생 2명을 일렬로 세울 때이므로

전체의 경우의 수는 6명을 일렬로 배열하면 되므로 가짓수가 됩니다.

그리고 여학생을 양쪽 끝에 배열하는 방법의 수는 가지 또는 가지 이고

나머지 중간에다 남학생을 배열하는 방법의 수는 가지가 되므로

답은 이 됩니다.

이처럼 적어도 라는 말이 들어간 경우는 여사건을 이용하는 경우가 많습니다.

연습문제

 방금 배운 내용을 바탕으로 해서 간단한 연습문제를 풀어 보겠습니다. 이것을 푼 다음에 여러분이 가지고 있는 참고서를 가지고 복습을 하면 되겠죠? 총 네 문항입니다.

 1번

 여학생 2명, 남학생 4명이 순서를 정하여 차례로 뜀틀 넘기를 할 때, 여학생 2명이 연이어 뜀틀 넘기를 하는 경우의 수는?

 1번 풀이 ( 이웃하는 경우의 수)

여학생 2명을 한 묶음으로 생각하여 총 5명의 학생을 일렬로 배열하는 방법의 수는 , 여학생 끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 이므로 구하는 경우의 수는 가지

 

 

 2번 문제

알파벳 자음 6개와 모음 를 일렬로 나열 할 때, 모음 끼리는 서로 이웃하지 않게 나열하는 방법의 수는?

 2번 문제 풀이 ( 이웃하지 않는 경우의 수)

이웃해도 좋은 를 일렬로 6개를 배열한 후 양 끝과 사이사이에 가 위치할 3개의 자리를 정하여 일렬로 배열하는 경우이므로

 

 3번 문제

 버스 정류장에서 남자 4명, 여자 2명이 버스를 기다리고 있다. 6명이 한사람씩 차례로 승차 할 때, 맨 앞과 맨 뒤에 남자가 승차하는 방법의 수는?

 

 3번 문제 풀이 (정해진 순열의 개수)

남자 4명 중 2명이 맨 앞과 맨 뒤에 승차하는 방법의 수는 이므로 구하는 방법의 수는

가지 

 

 

 4번 문제

 서로 다른 한 자리 수 자연수 6개를 일렬로 나열할 때, 적어도 한쪽 끝에 짝수가 오는 경우의 수는 432가지이다. 이 때 짝수의 개수를 구하시오.

 4번문제 풀이(여사건의 경우의 수)

홀수의 개수를 이라 하면, 적어도 한쪽 끝에 짝수가 오는 경우의 수는

 

 

 

 따라서, 구하는 짝수의 개수는 2개이다.