[기본개념] 파포스의 중선정리

포스트 내용

  파포스의 중선정리를 좌표평면에 옮겨서 (해석기하의 방법으로) 증명을 합니다. 그 외 평면좌표 단원에서 다른 내용이 궁금하면 여기를 클릭해 주세요.

파포스의 중선정리

 파포스(파푸스)의 중선정리는 고등학교 과정에서의 도형은 좌표평면에 올려 놓고 해석하는 방법(해석기하)으로 해결하는 예를 설명을 해 놓았습니다. 중학도형의 경우는 도형 그 자체로 해결하였습니다. 이를 논증기하라고 하죠. 복잡한 도형의 문제를 논증기하 방법으로 해결하기에는 어려운 경우가 많습니다. 좌표평면은 도형을 해석하기 위한 강력한 도구가 되는 것이고 파포스의 중선정리를 통해서 그런 방법을 배워 보라는 뜻으로 교과서에 실려 있습니다. 물론 시험을 대비 하는데는 공식을 암기 하여야 겠죠?

파포스의 중선정리의 증명

 파포스의 중선정리는 좌표평면에 옮겨서 해결 할 수 있습니다. 도형을 옮길 때는 최대한 해석하기 쉽도록 , 계산하기 쉽도록 좌표를 잘 잡으면 됩니다. 위의 그림에서 을 원점으로 옮기고 으로 잡으면 이 됩니다. 또한 로 두면 문자의 수를 줄이면서 대칭성을 이용하여 쉽게 얻어 낼 수 있겠죠?

아래에 증명과정이 있으니 한번 증명해 보시고 문제들을 해결해 보시길 바랍니다.

예제

  증명도 다 했으니 이제는 이 식을 적용하여 문제를 해결 할 수 있어야 겠네요.

 예제 1

아래 그림과 같이

삼각형 에서 , ,

이 변 의 중점일 때, 의 길이는?

 풀이

라 하면

파포스(파푸스)의 중선정리에 의하여

 

 ,

  

 예제 2

아래 그림과 같이 에서

는 의 무게중심이고,

 일 때,

 의 길이는?

 풀이

의 연장선과 의 교점을 이라 하면,

점 가 무게중심이므로

에서

 

점 은 의 중점이므로

파포스의 중선정리에 의하여

 

 ,