요약
가우스기호에서 x-[x]는 x의 소수부분이라는 사실을 바탕으로 하여 중요한 성질 하나를 배우고 오래된 옛날 기출문제에서 출제 된 적이 있는 성질 하나를 정리합니다.
링크
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가우스 기호와 소수부분
우리는 이미 가우스 기호 
는 
의 정수부분을 의미한다는 것을 배웠습니다. 그렇다면 소수부분은 어떻게 구할 수 있겠습니까? 어떤 수에서 그 수의 정수부분을 빼면 소수부분이 될 것입니다. 즉 아래와 같이 정리 할 수 있겠지요?
와우~ 큼직하네요.
그렇죠? 세상은 찐하게 살아야 됩니다. 음 무슨 소릴 하고 있는 거죠?
가우스 기호와 소수부분의 예제
이를 이용한 간단한 문제를 내어 볼까요?
에서 
를 만족하는 
의 값을 구하라고 하면?
이는 
의 소수부분이 
라는 것을 알 수 있습니다.
그리고 우리는 가우스 기호의 수학적인 정의를 이용하여 
에서 
은 정수이고 
에서 
의 값은
이렇게 네 개의 값을 가질 수 있다는 것을 알 수 있죠.
첫 번째 성질
그러면 가우스 기호의 소수부분에 대한 식 
의 의미를 파악하여 중요한 성질 하나를 얻어 낼 수 있습니다. 결과를 정리하면
이는 
입니다. 즉, 소수부분이 
이므로 
는 정수라는 것을 알 수 있죠?
이를 통하여 
를 만족하는 
의 값도 알아야 겠죠?
라는 덩어리가 정수가 되면 되죠?
따라서 
가 정수가 되므로 
는 2의 배수라고 할 수 있는 것입니다. 음의 2의 배수, 
도 모두 포함하는 것이죠?
그러니까 
이라면 구시렁은 정수라구요!!
문제 하나 만들어 봅니다.
에서 자연수 
에 대하여 집합 
라 하자.
이 때 
이라 할 때 
의 값은?
은 
이므로 
는 정수 , 따라서 
이므로 
는 
이므로 
가 정수가 되어야 겠죠?
라 하면
이므로
입니다. 
이므로 
따라서 
이렇게 5개가 되므로 
입니다.
위에서 눈치를 챈 사람이라면 
이란 것을 알 수 있을 까요? 모르겠다구요?
그럼 
을 구해 보면 
이므로 
는 정수 따라서 위와 같은 방법으로 하면
로 7개가 됩니다.
그러므로 
겠죠?
이런 문제는 규칙성을 바탕으로 해결할 수도 있습니다. 예전에 기출문제가 생각나서 대충 만들었는데 괜찮군요. 자화자찬입니다.
그 외 기억할 것
형태는 아주 Long time ago, The tiger smokes 할 때 나왔던 아주 오래된 옛날이야기입니다. 아이유의 문제
라고도 하죠. 오래 된 옛날 기출문제를 말합니다. 그럼에도 기억해야 되는 문제를 말하죠.
<아이유> 나의 옛날이야기 (2014.5.15.)
오래 되었지만 기억할 만한 내용을 말해
결론부터 정리하면
증명을 해 볼까요?
가우스 기호의 수학적인 정의에 의해서
, 
라고 놓으면
이므로
입니다.
그런데 
이면 
이고 이 때의 결과는 
이죠? 그러므로 
일 때만 
이 되는 것입니다. 즉, 
이란 말은 소수부분이 0이란 말이므로 
는 정수가 되는 것이죠.
자연수 
, 양수 
에 대하여 그렇다면 
이란 말은 
가 자연수 인 것 알겠죠?