[기본개념] 부채꼴의 호의 길이와 넓이

포스트내용

  이 강의는 부채꼴의 호의 길이와 넓이을 호도법으로 표현한 것입니다. 중학교 과정과 고등학교 과정이 모두 있습니다. 미적분2의 다른 삼각함수에 대한 강의를 보려면 이 곳을 클릭하세요.

 

호도법

 부채꼴의 호의 길이와 넓이에 대해서 살펴 보도록 하겠습니다. 이 과정을 학습하는데 있어서 필요한 내용들을 점검합니다.

호도법으로 표현 하는 방법과 육십분법과 호도법의 관계식인

  

  는 기억하시죠? 몰라요? 그럼 아래

http://bhsmath.tistory.com/49

 

 

시작

 부채꼴의 호의 길이와 넓이에 대해서 학습하겠습니다. 바쁜 사람들을 위해서 결과를 먼저 정리 하도록 하겠습니다.  원래 이것은 미적분 2에 있는 내용을 강의하는 것인데 중학생들이 많이 검색해서 중학생 공식도 넣겠습니다.

 

 

우리가 학습할 내용은 아래 내용입니다.

 

 이를 증명하는 과정을 보도록 하겠습니다.

와 은 서로 비례합니다. 각의 크기가 커질수록 호의 길이도 같이 커지겠죠?

 가 성립하는 이유를 보겠습니다.

반지름이 인 원에서 원의 둘레의 길이가 임을 알고 있습니다.

가 일 때 이므로 비례식을 만듭니다.

 

따라서 

 

이므로 

가 되겠습니다.

  임을 보입니다.

마찬가지 방법입니다.

중심각 일 때는 원의 넓이는 입니다.

가 커질수록 원의 넓이도 비례하여 커지므로

중심각이 일 때의 원의 넓이를 라 하면

 

이 되겠죠?

따라서

이므로

가 되겠습니다.

 또한 이므로

도 보일 수 있겠네요.

이 증명 과정을 아래에 다시 정리합니다.

	[증명]
	1) 호의 길이 의 증명    반지름의 길이가 인 원에서 길이가 인 호의 길이를 라 하면 호의 길이는 중심각의 크기 에 비례 하므로     [증명 끝]     2) 넓이 의 증명  부채꼴의 넓이 도 중심각의 크기 에 비례하므로      [증명 끝 ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 쌤, 공식 암기해야 되나요?

 당연한 것을.

는 자연스럽게 암기 합니다.

피자를 생각 하면 되죠?

 쌤. 또 피자 이야기. 피자 먹고 싶어요.

 치즈 크러스트 피자가 있다고 합시다. 둘레 부분은 치즈 크러스트 부분이죠? 이 부분이 커지려면 피자의 반지름이 커지거나 중심각이 커지면 되겠죠? 따라서 는 자연스럽게 암기 될 것입니다.

 쌤 왜 제 말은 씹으세요.

 피자가 중요하니? 이게 더 중요하지 일단 넓이 공식 암기 하는 법부터 하고 그 이야기를 계속 하자.

 넓이 공식을 기억 할 때는 역으로 을 먼저 기억합니다. 이렇게 기억하는 것은 사실은 조금은 직관적인데 공식이 갑자기 생각이 나지 않을 때 이렇게 생각 하면 됩니다. 가끔씩은 이런 직관도 필요 하겠죠?

원에 접하는 선이 있다고 했을 때 이를 원의 중심에 선을 그으면

위의 그림과 같이 접선과 원의 중심으로 그은 선이 직각이 됩니다.

그러면 부채꼴에서

위의 그림처럼 부채꼴의 호의 점에서 접선을 긋고 접점에서 부채꼴의 중심으로 선을 그으면 두 선은 수직이 됩니다. 어느 점에서나 마찬가지로 수직이 되죠?

따라서 호의 길이 을 밑변으로 하고 높이가 인 삼각형의 넓이를 구한다고 생각 하면서 암기를 하면 되겠네요.

따라서 부채꼴의 넓이는 이 되고 대신에 를 넣으면

로 기억하면 되겠습니다.

 쌤 피자 사 주세요.

 방금 피자를 삼각형으로 만드는 바람에 피자가 맛이 없어졌어.

 엥?? 

 문제 풀어 보세요. 문제들은 연산군의 정신으로 해결 하면 되겠죠?

 아~~ 쌤. 실망.

반지름의 길이가 이고,

부채꼴의 호의 길이가 일 때,

이 부채꼴의 중심각의 크기와 넓이를 구하시오.

, 

답은

둘레의 길이가 인 철사로 넓이가 최대인 부채꼴을 만들려고 한다. 넓이가 최대일 때의 부채꼴의 반지름의 길이는?

부채꼴의 반지름의 길이를 , 호의 길이를 로 놓으면

 

넓이는

 

따라서 일 때 부채꼴의 넓이는 최대이다.

답은