[중학 기본개념] 이차방정식의 판별식

 

   이차방정식의 판별식에 대해서 살펴봅니다. 판별식을 알기 위해서는 근의 공식을 알아야 됩니다. 몰랐으면 일루와

​

 이차방정식 에서 근의 공식은

으로 표현이 가능합니다.

판별식은 실수 계수의 이차방정식에서 다룹니다.

실수 계수라는 말이 상당히 중요한데요. (수능 대비 하는 학생은 이 단락 패쓰)

원래 근의 공식이란 것은 각 계수가 복소수가 되어도 만족하는 공식이지만 판별식의 경우는 반드시 실수 계수인지를 확인을 해야 됩니다. 교과서가 개정되면서 복소수 계수의 이차방정식은 교과 과정에 빠져 있음에도 많은 참고서들이 여전히 복소수를 사용하기도 합니다.

다시 돌아 와서 봅시다.

근의 공식에서 안에 있는 부분의 식을 판별식 이라고 합니다.

​

즉 를 말하는 것입니다. 이를 보통 라는 기호로 써서 아래와 같이 나타냅니다.

이 판별식은 어떨 때 사용되는지 보면 판별식은 근이 무엇인지에 관심은 없고 근이 어떤 “종류” 인지를 판별하는데 쓰인다. 라고 생각 하면 됩니다.

​

 만약 이면 안이 양수가 되어 꼴이 되어 서로 다른 두 실근을 갖게 되겠고 이면 가 되어 서로 다른 두 허근이고 내부가 이면 이 되겠습니다. 그래서 중근을 갖게 되는 경우죠. 이를  정리하면 아래와 같습니다.

​

​

​

​

 

 

<씨스타> 나혼자  (2012.4.11) 

D=0 이면 근호 내부가 0이니까 나 혼자 남지. 그래도 고딩은 2개로 취급해!! 

​

​ 

  정리 되었죠? 일반적으로 이차방정식의 근의 개수는 모두 2개입니다. 중근도 중복된 근 두 개가 있다고 취급하지요. 물론 중학교 때는 위의 표처럼 중근을 하나로 취급합니다. 또한 허수를 배우지 않으므로 허근은 없다고 생각하여 일 때는 0개가 되지요.

 고등학교때는 차 방정식의 근은 개의 근을 갖는다는 이론적인 틀 내에 있기에 중근도 2개로 취급합니다. 역시 내신에서 중요한 내용이겠죠.

그렇다면 실수 계수의 방정식에서 실근을 가질 조건을 구하시오. (또는 중학교에서는 근을 가질 조건을 구하시오.) 라고 한다면 판별식의 조건은?

  !!!

  뷃!!!!!!

   이 되겠습니다. 중근도 실근을 갖는 것이죠. 말 한마디 한마디에 유의 하면서 접근을 해야 됩니다.

  일차항의 계수가 짝수일 때의 이차방정식의 근의 공식이

 였죠? 

​이거 잘 모르겠다구요? 그럼 여기를 살포시

  이 내용도 근의 공식을 유도하는 과정과 상당히 비슷합니다.

이차방정식 

 의 

판별식 입니다.

그런데 

일차항의 계수가 짝수인 이차방정식은 꼴이므로

이 때 을 만족합니다.

  에서  을 대입하면

 

이죠 

이 식을 로 나누면

가 되어 일차항의 계수가 짝수인 이차방정식의 근의 공식

에서 내부의 식과 일치 합니다.

그래서 일차항의 계수가 짝수인 이차방정식에서의 판별식을

로 표현하는 것입니다.