[기본개념] 역함수의 미분

포스트내용 

역함수의 미분을 역함수의 미분과 역함수의 미분계수로 두 가지로 나누어서 설명합니다. 두 개를 통합하는 것 보다 나누어서 해결하는 것이 문제 접근력을 더 쉽게 할 수 있다는 판단에서 그렇습니다.  그외 미적분1과 관련된 내용은 여기를 누르시고 미적분2와 관련된 다른 기본개념은 여기를 누르세요.

역함수의 미분

 어떤 함수의 도함수는 라 표현할 수 있습니다.

 도함수가 존재한다는 말은 어떤 값에 대한 미분계수가 존재한다는 말과도 같은 말입니다. 그것은 극한값이 존재해야 되므로 이면 이라는 것이 포함 되어 있는 것이죠. 그러므로 로 표현됩니다.

정확한 교과서 증명은 아래와 같습니다.

 위의 식을 볼 때 학생들은 궁금할 수도 있습니다. 언제 쓰는지 말이죠. 위의 식은 성립하는 것 같은데 어디서 쓰는지 궁금할 것 같습니다.

 언제 사용하느냐??

 첫째, 의 꼴로 표현된 함수에서 를 이용하여 쉽게 구할 수 있습니다.

 둘째, 의 함수에서 를 구하는 것은 역함수의 도함수를 구하는 것이라는 것을 알 고 있어야 됩니다.

 예를 들어, 과 같은 함수가 있다고 합시다. 이 함수에서 를 구할 때

 라고 쓸 수도 있지만 이라는 식에서 를 구하기 쉽습니다. 으로 쉽게 구할 수 있죠? 이럴 때 으로 생각하여 쉽게 얻어 낼 수 있죠?

즉, 의 형태에서 를 쉽게 구할 수 있습니다.

역함수의 미분법을 이용하여 함수 의 도함수를 구하시오.

에서 , 즉 이므로   

∴

 을 역함수의 미분법을 이용하여 의 값을 에 대한 식으로 표현하시오.

주어진 식을 변형하면

 에서 양변을 에 관하여 미분하면

역함수의 미분계수

 이제 역함수의 미분계수에 대해서 보겠습니다. 역함수의 미분법에서 학생들이 많이 혼돈 하는 실수가 이므로 함수와 역함수의 곱이 일 것이라고 생각하는 경우를 많이 보아왔습니다. 그렇지 않다는 것을 구체적으로 표현하면서 이해가 조금 더 간단한 식이라고 할 수 있습니다.

 결론부터 말하면 함수 의 역함수를 라고 할 때

 입니다.  또는 라고 표현 할 수 있죠?

이것도 혼란스러워 하는 경우가 많아

의 역함수를 라 할 때

 일 때 라고 하면 조금 더 이해가 쉽습니다.

이를 간단하게 증명하면 아래와 같습니다.

 

또한 심화 내용으로 꼭 보면 좋은 강의가 있는데 이와 관련하여 기하학적으로 해석한 강의입니다. 반드시 확인하면 좋을 것 같습니다. 이 곳을 클릭

미분가능한 함수 의 역함수를 라 하자.
일 때, 의 값은

 

미분가능한 함수 의 역함수 가

을 만족시킬 때, 미분계수 의 값은?  

가 으로 수렴하고, 일 때

 분모이므로   분자이다. 즉,

   

또한 함수 의 역함수가 이므로

 

 의 역함수가 이므로

 양변을 에 대하여 미분하면

 를 대입하면