역함수의 미분계수를 구하는 방법은 합성함수의 미분법을 이용하는 방법과 함수의 그래프를 이용하는 방법이 있습니다. 함수 
의 역함수를 
라 할 때 아래와 같은 성질을 만족합니다. 아래에 먼저 정리 해 놓겠습니다.
이를 합성함수의 미분법을 이용하여 증명하겠습니다. 보통 많이 쓰는 방법이지요.
함수 
의 역함수를 
라 할 때
를 만족합니다.
이를 양변을 미분하면
이 되겠네요.
여기에 
를 대입하면
가 되어
이 됩니다. [증명 끝]
역함수의 미분계수 문제를 직관적으로 해결하여 문제를 해결하는 속도를 빠르게 합시다. 위의 내용을 단지 식으로만 머릿속으로 넣지 말고 그림과 같이 생각 할 수는 없을까요?
위의 그림입니다. 먼저 
를 그리고 
를 그립니다. 물론 두 그래프는 
에 대해서 대칭인 것은 두 말하면 잔소리죠? 이 때 위의 그림에서 
위의 점 
에서 접선을 긋습니다. 또한 
의 
에 대한 대칭점에서 역시 접선을 그었을 때 두 접선은 
에 대칭이므로 기울기의 곱은 1입니다. 이것 몰랐다구요?
여기를 살포시 누르긔
그러면 
와 
가 의미 하는 것은 각 직선의 기울기의 곱이므로
이라는 것을 알 수 있겠네요. 아래 그림을 머릿속에 넣어 두면서 자연스럽게
이면
이라고 하시면 됩니다.
푼다고 다 아는 것은 아닙니다. 시험을 대비할 때는 시간을 절약할 수 있는 경우는 절약 할 수 있어야 됩니다. 자주 나왔던 형태의 ‘역함수의 미분계수’ 문제는 시간을 아껴서 더 어려운 문제를 접근할 수 있겠죠? 합성함수의 미분법을 이용한 증명과 방금 위의 그림을 머릿속에 넣고 두 가지를 병행할 수 있도록 하면 좋겠습니다.
참고로 이 그림 쉬워 보였죠? 이 그림을 그리기 위해서 아래와 같게 해야 됩니다. 수식만 8개 들어갔네요. 거기다 포토샵 작업도 해야 되거든요. 아래 내용에서 정확하게 12분 걸려서 위에 그림 다시 완성 했습니다.
그러니까 “시간을 절약해서” 맞추란 말이야!!!
