[보충] 자연수의 분할 P(n,2)

포스트내용

자연수의 분할 중는 쉽게 얻어 낼 수 있습니다. 이를 공식화 합니다. 숫자로 먼저 해 보고 일반화 하여 증명하는 과정을 다루고 있습니다.

 자연수의 분할 공식 중에서 에 대해서 알아 보겠습니다. 결과부터 정리하면 아래와 같습니다.

이를 숫자로 해 볼까요?

이 짝수일 때 숫자로

 는

두 수의 합이 가 되도록 하는 순서쌍입니다

 로 두쌍이 있으므로

는 

 두 수의 합이 이 되도록 하는 순서쌍의 개수를 구하면 되죠?

으로 세쌍이 있으므로

이 짝수일 때 문자로 일반화하여 증명

 위의 결과를 토대로 이 짝수일 때

로 두면

 이고

개의 자연수 의 합으로 표현하면 가 구분되지 않으므로 순서쌍 의 개수를 구하면 됩니다.

가 되어

순서쌍의 개수는 개입니다.

 이므로 가 되죠?

따라서 입니다.

이 홀수일 때 숫자로 연습

 이제 이 홀수 일 때 볼까요?

를 구하면

하나 밖에 없습니다.

따라서

를 구하면

 으로 두 쌍이 됩니다.

 입니다.

이 홀수일 때 문자로 일반화 증명

 로 두면

가 되고  (

마찬가지로 두 자연수 의 합이 이 되도록 하는 순서쌍은

가 되어

쌍이 됩니다.

 이므로

 이므로

입니다. 

따라서, 가 되겠죠?