[기본개념] 같은 것이 있는 순열

포스트내용

같은 것이 있는 순열에 대한 기본 개념입니다. 그 외 순열과 조합에 관련된 강의는 이 곳을 클릭 하세요.

 같은 것이 있는 순열에 대해서 학습합니다. 이 학습과정의 목표는 같은 것이 있는 순열의 경우의 수를 구하는 방법을 알고 공식을 적용할 수 있도록 연습하는 것이 목표입니다.

 를 일렬로 나열하는 방법을 구하라고 한다면 이것은 우리 집 화초 싱고니움도 풀 수 있는 문제입니다. 이 되겠죠?

 그러면

를 일렬로 나열하는 방법에 대해서 살펴봅시다.

이 경우 먼저 를 다른 것으로 보고 생각합니다.

그러면 를 일렬로 배열한다고 생각하면 가지가 됩니다.

그런데 실제로는 는 같은 것이므로 중복된 것을 나누어야 겠습니다.

그래서 를 배열할 수 있는 방법은 가지 이므로

우리가 구하고자 하는 를 일렬로 배열하는 방법의 수는 가지가 됩니다.

 이제는

를 일렬로 배열하는 방법의 수를 얻어 낼 수 있겠습니까?

위의 방법과 마찬가지로 를 다르게 보면 가지가 됩니다.

그런데 실제로 는 같은 것으로 를 배열하는 방법의 수가 이 되므로 를 배열하는 방법의 수는 가지가 됩니다.

즉 아래의 표로 표현한 것은 실제로 같은 경우가 되고 중복된 경우가 가지가 된다는 이야기입니다. 아래의 6가지의 경우는 실제로는 같은 경우가 되는 것이죠.

 

 그렇다면 를 배열하는 방법의 수는 구할 수 있겠죠?

는 총 개수가 7개입니다. 그런데 가 3개 이므로 만큼이 중복이 되고 가 2개 이므로 가지가 중복이 됩니다. 따라서 를 배열하는 방법의 수는 가지가 됩니다.

그러면 위의 결과를 정리해 볼까요?

위의 결과를 이용하여 문제를 하나 보도록 하겠습니다.

 의 7개의 숫자를 모두 사용하여 7자리의 자연수를 만들 때, 짝수 인 것의 개수는?

 7자리의 자연수를 배열하는 것입니다. 여기서 무엇을 주의 해야 될까요? 자연수에서는 최고자리수가 0이 될 수 없습니다. 이것에 주의를 해야 겠네요. 그래서 “최고자리수가 0이 되는 경우를 제외한다.”는 생각으로 접근을 한다면 여사건의 개념을 적용할 수 있겠네요.

 그래서 이 경우는 전체 짝수의 개수에서 최고자리가 0이 되는 짝수의 개수를 제외하면 답이 되겠습니다. 그런데, 짝수가 되려면 일의 자리의 숫자가 0 또는 2 가 되어야 되므로 두 가지의 경우로 분류할 수 있어야 하겠습니다. 그 두 경우로 나누어서 접근해야 겠네요. 이처럼 경우의 수 문제나 확률의 문제는 정확한 기준으로 분류 한다는 아이디어는 수능에서 중요한 내용입니다.  답을 정리 하도록 하겠습니다.

풀이

(ⅰ) 일의 자리에 0이 오는 경우의 수

(개)

(ⅱ) 일의 자리에 2가 오는 경우의 수는 맨 앞에 0이 오는 경우의 수를 빼야 하므로

 (개)

따라서, (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 짝수의 개수는

 7개의 문자 를 일렬로 배열할 때, 끼리 이웃하거나, 끼리 이웃하는 모든 경우의 수를 구하시오.

접근 포인트 1.

 이 문제를 접근할 때는 –거나 –하는 이라고 되어 있죠? 경우의 수 문제는 글을 잘 읽어야 합니다. 여기서 여러분들이 접근 할 수 있는 개념은 무엇인가요? 그렇습니다. 합의 법칙을 이용하면 되겠네요. 합의 법칙은 집합의 관점으로 접근 하는 것입니다. 임을 이용하는 것이죠. 여기에 숨어 있는 것은 무엇이냐? 중복 된 것을 뺀다는 것입니다.

접근 포인트 2.

 또한 어떤 개념으로 접근을 해야 겠습니까? 쉬운 문제를 풀더라도 여러분들은 반드시 개념적인 도구들을 잘 사용할 수 있어야 됩니다. 이웃한다고 했습니다. 이웃하는 순열은 “한 덩어리로 생각한다.”입니다. 이렇게 당연해 보이는 것들을 여러분 것으로 정리 해서 문제를 접근하시면 됩니다.

접근 포인트 3.

 문제를 보면 이 문제에서 같은 것이 배열 되어 있죠? 그래서 지금 배우고 있는 같은 것이 있는 순열의 개념을 이용하여 문제를 접근 하면 되겠죠?

그러면 다시 방금 문제와 풀이를 정리 하겠습니다.

 7개의 문자 를 일렬로 배열할 때, 끼리 이웃하거나, 끼리 이웃하는 모든 경우의 수를 구하시오.

 풀이

(ⅰ) 끼리 이웃하는 경우

  를 로 놓고 를 일렬로 배열하면 된다.

가지 

(ⅱ) 끼리 이웃하는 경우

를 로 놓고 를 일렬로 배열하면 된다.

가지 

(ⅲ) 는 끼리, 는 끼리 이웃하는 경우의 수

를 로, 를 로 놓고, 를 일렬로 나열하면 된다.

 

따라서, (ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)에서 구하는 경우의 수는

(가지)