[기본개념] 원리합계 1.복리법 2.기수불

‘원리합계’에서 ‘복리법’ (정기예금)에 대해서 살펴보겠습니다.

  정기예금이란 정기적으로 예금을 하는 것입니까?

 예

 예

  오. 유진이까지. 그럴 줄 알았어요. 대부분의 학생들은 정기예금을 정기적으로 예금하는 것이라고 생각을 하는데. 그것은 정기적금입니다. 다음 시간에 다룰 내용이지요. 이 단원을 할 때 쌤은 은행직원으로 빙의해야 됩니다.

정기예금은 일정한 돈을 은행에 예금을 한 다음

은행과 약속한 기간 내에 찾는 것을 말합니다.

그러니, 돈을 묻어 놓고 기다리는 것이죠.

    

 처음에 은행에 넣은 금액을 원금이라고 하고

 이자는 그 원금에 대하여 정해진 이율에 따라 지급합니다.

 그 이율을 이자율이라고 하죠.

 나중에 돈을 찾을 때의 금액 즉, 원금과 이자를 합하여 이를 원리합계라고 말합니다.

용어를 아래와 같이 정리할 수 있겠죠?

이자를 받는 방식은 원금에 대한 이자만을 지급하는 단리법이 있고 정해진 기간에서의 원리합계를 다시 원금으로 생각하여 이자를 지급하는 복리법이 있습니다.

  감이 오지 않는데요?

  단리법은 처음에 예금한 금액에 기초하여 그 금액에 대한 이자만을 계속 받는 것입니다. ‘복리법’은 ‘이자에 이자를 더한다’ 라고 생각하면 됩니다.

​

​

예를 들어 1000원을 예금했다고 합시다.

연이율이 10%라고 하면 단리법과 복리법의 계산 방법은 아래와 같습니다.

  단리법의 경우

원금이 1000원이었고

1년후 이자는 원이 됩니다.

즉, 이자는 지속적으로 100원씩 받게 되는 것입니다.

이 때의 원리합계는 원이 되겠네요.

2년 째에도 이자는 여전히 100원이므로 2년 후까지의 이자의 총합은 원이 되어서

2년 후의 원리합계는 이 됩니다.

​ 

  복리법의 경우는

1년 후의 원리합계는 원이 됩니다.

그런데 2년 째에는 1년 후의 원리합계를 다시 원금으로 생각합니다.

 

그러면 2년 째의 이자는 원금 원의 가 되어 원이 되죠? 

그러므로 년 후의 원리합계는 아래와 같이 되겠지요?

1년 후의 원리합계 원이 다시 원금이 되고

그것의 이자 원을 더하게 됩니다 .

따라서 2년 후의 원리합계는

원이 됩니다.

그렇다면 3년 후에는

2년 후의 원리합계인 원의 가 다시 이자가 되어 원이 이자로 지급이 되겠죠?

3년 후의 원리합계는

원이 됩니다.

  이게 별 차이가 나지 않는다고 생각할 수도 있는데

이를 표로 정리해서 보면 아래와 같습니다.

몇 년 후까지는 차이가 나지 않다가 15기간 정도만 지나면 확연히 차이가 나는 것이 보이죠?

지금 당근 1000원짜리가 있습니다.

연이율을 현재의 이율 보다 적은 라고 합시다.

3000년 후의 가치를 보면

단리법은 31000원이 됩니다.

복리법으로 하면

9207067941189810원

그러니까 여러분들이 먹는 당근의 가치는 3000년 후에는

9207조 정도 되겠습니다.

이율이 였다면

324843450934403000000000000000000000000000원 정도

이니 이 숫자는 읽기가 싫은

​Dog large number 가 되겠습니다.

개 큰 수가 되네요.

 

 

근데 이걸 내가 왜 편집했지?개가 귀여워서??? 편집한게 아까워서 올렸어 (미안~~!)

​

​

그러니 3000년 전의 화석은 지금의 것보다 높은 가치인 것은 당연하겠죠? 물가상승율, 희귀성도 고려를 해야 되는데. 뭐 대충 합시다.

  시험에 나오는 내용은 복리법입니다. 복리법은 실제로 사용되는 방법이지요. 아인슈타인의 유명한 말 있죠? 복리는 인간의 위대한 발명이다. 라고 했습니다. 주식투자를 하다가 실패를 했다고 하던데 주식투자는 너무 머리가 좋아도 안 된다고 합니다.

 주식은 합리적이지 않은 듯 합리적이거든요. (방금 말은 책임 못 짐)

<부쌤> 스웨덴 화폐 (여행중 찍음) (2005. 6. 4.)
오페라 가수, 제니 린드를 기리는 화폐
우리나라도 나중에 유명한 가수가 화폐에 있으면 좋겠다!!

  그렇다면 문자로 ‘복리법’에 대한 내용을 식으로 한번 유도를 해 봅시다.

원금이 원 이고 이율이 이라고 했을 때 기간후의 원리합계를 복리로 계산하는 겁니다.

년 후에는 이자가 원이 되므로

원이 되죠?

2년 후에는 을 다시 원금으로 생각하면

이자는 이율 을 곱하면 이 됩니다.

따라서

이 됩니다.

3년 후에는

이 되네요.

 

여기서는 이제 규칙성으로 일반화 합시다.  

기간 후에는

이 되네요.

​

“뭐 성급한 일반화의 오류가 나올 수 있다구요? 그럼 10번 하고 일반화 하셈!!”

​ 

다시 정리하면

 원금이 , 이율이 일 때 기간 후의 원리합계는

1기간 후 :

2기간 후 :

3기간 후 :

기간 후 :

 

 

  선생님, 단리법은요?

  걍 대충해. 의미만 파악하면 풀 수 있지? “큰 벌레 정신”이야. 가끔씩은 대충 대충 하는 것도 필요하지.

​

​

​

​

​ 

<작자미상> siva 멋쟁이 사슴벌레

대충 = "큰벌레" 의 정신, 진짜 멋진 벌레

 

  쌤 단리법 정말 궁금해요

  역시 유진이. 이런 학생 정말 1000명 중에 3명인데

     공식 던져 줄테니 해 보세요.

     단리법은  

 

 

 

 

 

  오 등차수열이네요.. n에 대한 일차식이네요. 

  와..S.i.v.a. 멋쟁이 사슴벌레보다 훨씬 더 멋진데??

  예??

  나 욕 안했어.. 넌 최고라고~!!

(방금의 대화 과정은 현실에서 일어날 확률이 0.0001% 입니다.)  

​

​

'

​

​ 

  ‘복리법’이란 실생활에서 정기예금입니다. 처음에 물어 봤듯이 정기예금은 정기적으로 예금하는 것이 아니라고 했죠? 기간을 정한 예금이란 뜻입니다.

간단한 문제 아래 풀고 다음 강의 정기적금에 대해서 살펴보도록 하겠습니다.

여기 까지는 “공식만 암기 하고 용어의 의미가 무엇인지만 알면” 손이 아니라 발로 풀 수 있을 것입니다.

<부쌤> 발로 풀지 뭐. (2004.11 -필리핀 기마라스섬)​

​여기 까진 발로 풀 수 있겠죠?

누구냐고?

나야.. 미안해

 

​ 

 

  원리합계 2번째 시간, 기수불 대해서 보겠습니다. 기말불은 다음 시간에 다룹니다. 실생활에서는 정기적금이라고 할 수 있는데요. 우선 이 내용을 학습 하기 위한 내용들을 확인 하겠습니다.

1. 등비수열의 합

등비수열의 합의 공식을 잘 기억 하고 있죠? 잘 모른다면 일루오셈

2. 복리법 공식

 이것 기억나나요? 기억 안 난다고?? 방금 했어.!!

 

시작 

  자, 잘 집중 하세요. 포스트를 다 작성한 후에 지금 이 부분을 제일 마지막에 쓰고 있는 것인데. 저는 정말로 최선을 다 했습니다.

  정기적금이란 것이 있습니다. 정기적금이란 특정한 시점에 같은 간격으로 일정한 금액을 적립하는 방식입니다. 보통 실생활에서는 월 단위로 적금을 넣죠.

​

매월 1일에 똑같은 금액을 12달 넣는 적금이 있다고 합시다.

1월 1일에 10만원,

2월 1일에 10만원,

3월 1일에 10만원으로 계속 넣고

 마지막 12월 1일에 10만원을 넣습니다.

​ 그리고 12월 31일에 그 동안 입금한 것과 이자를 모두 포함해서 돈을 찾게 되지요. 이것을 정기적금이라고 합니다.

​

​ 

이를 기수불이라고 하기도 합니다. 기수불이란 매기 초에 돈을 지급한다는 뜻으로 방금 설명 드린 정기적금하고 똑같은 것입니다. 매기 초에 일정한 금액을 넣고 마지막 만기는 마지막 돈을 입금한 시기로부터 1기간 ( 월이라면 1개월)후에 돈을 찾는 방식이 됩니다. 기말불은 매기 말에 넣는 것이겠죠?

  이제 구체적인 예를 통해서 해 봅시다.

매년 초에 1000원을 3년간 입금합니다.

1년 1월 1일에 1000원,

2년 1월 1일에 1000원,

3년 1월 1일에 1000원을 입금하는 것이죠.

연이율을 10%라고 한 다음 3년 기말(3년 12월 31일)에 돈을 찾는다고

하겠습니다.

입금한 기간에 따라 원리합계는 달라 질 것입니다.

그래서 위의 세 개를 각각 복리법으로 계산하면 됩니다.

원래는 하나의 정기적금을 든 것이지만 각각을 따로 복리법(정기예금)을

들었다고 생각하면 됩니다.

그렇다면 1년 1월 1일에 1000원은 1년이 지난

2년 1월 1일에는 1000원에다 이자 100원이 붙어

1100원이 됩니다.

이것이 1년 지나면 이자가 110원 붙어 1210원이

되겠죠?

3년초 즉 3년 1월 1일과

3년말 3년 12월 31일은

1년이 경과한 것으로 봅니다.

그래서 3년 말에는 다시 이자가 붙어 1331원이 되겠네요.

이를 표로 정리 하겠습니다.

이를 복리법의 식 으로 표현하면

 이고

이율이 이므로

아래와 같이 표현 되겠죠?

그러면 나머지 2년 초, 3년 초에 적립한 금액도 아래와 같이 정리 됩니다.

위의 표에서 실제로 돈을 찾을 때 얼마를 찾겠습니까?

오른쪽에 있는 황토색으로 칠한 부분을 더하면 되겠죠?

지금은 3번 밖에 입금을 안 했으니 그냥 더하면 되지만

횟수를 많이 한다면 등비수열의 합을 이용하여 해결 하면 됩니다.

 이를 문자로 정리 해 봅시다.

매년 초에 원씩을 의 복리로 년 동안 적립 할 때 년 말의 원리합계를 구하고자 합니다.

그러면 이것을 표로 나타내어 봅시다. 먼저 입금한 금액들을 아래에 적는 것입니다.

아래와 같이 나타낼 수 있겠네요.

연초록색으로 표현 되었습니다.

그러면 이 각각은 하나의 정기예금을 여러 번 들었다고 생각하면 됩니다.

위의 표에서 맨 마지막에 넣은 원을 생각해보면

년 초와 년 말은 년으로 취급하므로

이자가 한번 붙겠지요?

그 위의 칸에서는 이자가 두 번 붙을 것입니다.

그러면 제일 처음에 넣은 것은요?

2년초에는 1년 경과가 되었고

3년초에는 2년 지난 겁니다.

그렇다면 차이가 1년 나니까

년 초에는 년이 되겠죠?

그런데 년 초와 년 말은 1년 간격입니다.

따라서 총 년이 걸립니다.

그렇다면 이제 복리법 공식 을 써서 아래와 같이 정리 할 수 있겠군요

그렇다면 년 말의 원리합계를 구합시다. 위의 표에서 황토색(맞나?) 부분을 더하면 되겠습니다.

더할 때는 밑에서 위로 더 합니다.

그러면

 

이 되어서 등비수열의 합을 이용하면 됩니다

따라서 기수불에서의 원리합계의 식은

이 되겠습니다.

  쌤. 그러면 공식만 외우면 되겠네요.

  The sound of dog가 되겠습니다.

 개 풀 뜯어 먹는 소리 <2014년 어느 날>

  똑같은 문제가 나오지 않을 뿐만 아니라 나오더라도 위의 표를 그리는 방식으로 해결 하셔야 됩니다. 약간의 변칙적인 문제를 생각해야 됩니다. 최근에(2015년 7월) 수능에서는 직접적으로 출제되고는 있지 않습니다만 비율의 관점에서 잘 접근 할 수 있도록 해야 됩니다.

  원리합계의 문제는 비스트의 2번 문제 라고 하죠.

비스트의 2번 문제는 뭐예여?

  열심히 하려 해도 문제가 등 돌리고 내가 다른 곳을 보고 싶고 그냥 틀릴까 하는 문제를 말해. 그렇지만 노력으로 극복 할 수 있는 문제지.

 아.. 그런데 전 비스트를 잘 몰라요.

  음 노래는 들어 봤을 건데. 모르겠으면 드립 부분 뛰어 넘고 봐. 드립 부분이 조금 기니까. 시계바늘 그려진 것 밑에서부터 보면서 문제 보면 됩니다.

 아. 시계바늘.. 나는 알겠다..ㅋㅋㅋㅋㅋ. 알긴 알겠는데. 이번에는 좀 어렵네요.

 

 아. 저두요.

  서연이는 당연한데. 유진이도 알겠다니 많이 아네?

 공부 하고 있으면 가만히 있어도 옆의 애들 때문에 그냥 알게 돼요.

 

 

 

 

 

<비스트> 12시 30분 (2014.10.19.)
12시 30분이면 시침과 분침이 이루는 각의 크기가 165도 를 이루니 완전히 등 돌린 것은 아니지. 노력하면 풀 수 있는 문제인 거지

 

 

  헉... 

  ㅋㅋㅋ

  ㅎㅎㅎ.

 

 

 

12시 30분이 아니라 6시 였다면 완전 등돌렸다.

  이런!@@!

   ㅋㅋㅋ

​

​

​

 

12시 32분 43초가 되었다면 완전 등 돌렸다.

 제에..길슨.

 비스트 모르면 걍 넘어 오라니까 봐 놓고 그래?

 ㅋㅋㅋ

​

​

​

​

​

​ 

  이처럼 등돌린 것 같지만 열심히 노력하면 충분히 풀 수 있는 문제를 비스트의 2번 문제라고 합니다.

  하고 나니 너무 수학 오타쿠 같네. 수업 할 때만 이러지 밖에서는 안 이럽니다.

 ㅋㅋㅋ

  근데 수학 오타쿠는 맞어. 수학 가르치다 보니 그렇게 됩니다.

 ㅋㅋㅋㅋㅋ

  밖에서는 안 이럽니다.

  쌤 계속 그러니까 밖에서도 이럴 것 같은데요?

  아 그래?

사실은 좀 그래.

 

  문제 풀도록 하겠습니다. 아래 문제는 기본 문제라 위의 공식을 써서 풀 수 있지만 실전에서는 이런 문제보다 약간 변칙적인 문제가 나올 것입니다. 위의 내용으로 하나하나씩 써 보면서 하세요.

  월이율 1%, 1개월마다 복리로 매월 초 10만원씩 적립할 때 ,

  3년 말의 원리합계는?

( 단 , )

답은 404만원

​

​ 

 매년 초에 3만원씩 적립할 때 10년말까지의

  원리합계는? 

( 연이율 로 1년마다 복리로 계산하며

로 계산한다.)

① 38만 6천원

② 40만원 

③ 42만 4천원

④ 44만 2천원   

⑤ 46만원

10년후의 원리합계를 라 하면

 

이므로 는 첫째항이 이고 공

비가 인 등비수열의 첫째항부터 10항까지의 합이다.

답은 ④

​