포스트 요약
우함수와 기함수에 대해서 살펴 봅니다. 우,기함수를 판별하는 방법과 곱의 형태로 주어진 경우 우함수인지 기함수인지를 쉽게 판별하는 방법에 대해서 학습합니다.
1. 우함수의 정의
우함수라는 용어는 교과서에는 등장하지는 않지만 내신이나 수능에 이 함수들의 특별한 성질을 이용한 문제들을 자주 출제 하고 있죠? 보통 수학 수업 때 이 용어가 교과서에서는 설명이 되어 있지 않지만 수업시간에 선생님께서 이 용어를 많이 쓰실 겁니다.
우함수란 
축 대칭인 함수를 말합니다. 아래와 같은 중요한 성질이 있습니다. 아니 아래의 성질이 정의라고 해도 무방합니다.
1.1 위의 식이 만족하는 이유
함수 
가 있습니다. 이 때 
대신 
를 대입한
는 
를 
축에 대하여 대칭이동한 식입니다.
그런데 
라는 것은 “어떤 함수를 
축에 대하여 대칭이동하더라도 그대로 이다.” 라는 의미를 가지고 있습니다. 아시겠죠? 그래서 우함수의 정의는 
축 대칭인 함수인데 이를 식으로 
라고 표현 할 수 있는 것입니다.
2. 기함수의 정의
기함수란 원점 대칭인 함수를 의미합니다. 원점대칭인 함수는 아래와 같은 성질을 만족하고 이를 정의라고 생각하여도 무방합니다.
2.1 기함수의 정의 보충설명
그러면 
가 왜 원점 대칭인 함수를 나타내는지를 봅시다. 이는 
를 원점 대칭이동하면 
입니다. 함수 
를 원점 대칭이동하여 겹쳐지려면 이동 한 후의 식에서 
의 값이 같아야 합니다. 그래서
로 표현할 수 있으므로 
라고 할 수 있습니다.
3.1 우, 기함수의 판별법 1. 직관적인 방법
어떤 함수가 우함수인지 기함수인지를 판별하는 방법입니다. 정의를 이용하여 
대신에 
를 넣을 때 식의 변화가 없으면 즉 
이면 우함수가 되고 
대신에 
를 넣었을 때 
가 곱해지면 기함수입니다 .
예를 들어 
은 
대신에 
를 대입하면 
이 되어 여전히 
입니다. 그래서 이 함수는 우함수가 됩니다. 또한 
도 마찬가지죠? 
대신에 
를 대입하더라도 
이므로 변화가 없습니다.
식이 약간 복잡하더라도 이 방법을 사용할 수 있습니다. 예를 들어 
은 
대신에 
를 대입하면 식의 변화가 없습니다. 그러므로 
도 우함수 임을 알 수 있습니다.
는 어떻습니까? 
대신에 
를 대입하면 
가 되어 원래 식에서 
를 곱해야 합니다. 이런 함수는 기함수가 되겠죠? 어떤 함수를 볼 때 우함수 인지 기함수인지 간단한 함수에서 빠르게 결정하는 방법입니다.
3.2 우, 기함수의 판별법 2. 식을 통해 판별 (서술형)
식을 통해 판별하는 방법도 있습니다. 어떻게 보면 위에서 설명한 방법과 같은데 우, 기함수인지를 정확하게 증명하는 방법이라고도 말할 수 있겠습니다.
예를 들어 봅시다. 
가 우함수이고 
가 기함수 일 때 
가 우함수인지 기함수인지를 확인해 봅시다. 이를 해석하는 방법은 새로운 함수를 치환하여
즉 
라 놓고 
이면 우함수일 것이고 
이면 기함수가 되겠죠?
가 우함수이므로 
를 만족하고
가 기함수이므로 
를 만족합니다.
이고 그런데 
이므로
이므로
가 되어 
는 우함수가 됩니다.
4. 우, 기함수의 곱
어떤 두 함수가 우함수와 기함수의 곱으로 표현되어 있을 때는 다음과 같습니다.
이를 간단하게 생각하는 방법은 
은 우함수이고 
는 기함수입니다. 일반적으로 
꼴에서 
이 짝수이면 우함수가 되고 홀수이면 기함수가 됩니다.
그래서 기함수 
기함수는 
과 
처럼 지수가 홀수인 함수 두 개를 곱했다고 생각하면 쉽게 해결 됩니다. 
이 되어 
은 우함수가 되죠?
그러기 위에서 우함수를 짝수로 생각하고 곱하기를 더하기로 기함수를 홀수로 생각하면 완벽하게 위의 결과와 같습니다.
쌤 그럼 정확한 증명은 어떻게 해요?
오. 유진이 정말 쵝온데? 이런 학생은 1000명 가르치면 3명 정도 나오는데 대단해요..
그렇다면 기함수
우함수가 기함수임을 증명해 볼까요?
이는 위에서 우함수와 기함수를 판별하는 방법에서 서술형으로 설명한 것과 똑같습니다.
가 우함수이고 
를 기함수라고 하면
, 
기함수 곱하기 우함수는 
이죠? 이것이 우함수인지 기함수인지를 확인하면 됩니다.
라 하면
에서
, 
이므로
이고 
이므로
가 성립합니다.
따라서 
는 우함수입니다.
이런 식으로 증명을 하면 됩니다. 그런데 실제 시험에서는 이 과정을 일일이 할 수 없기에 위의 짝수와 홀수의 합으로 생각하여 빠르게 접근 하는 것을 추천합니다.