[기본개념] 무한등비수열과 수렴조건

무한등비수열의 용어 설명

 무한등비수열은 말 그대로 무한수열과 등비수열이 합쳐진 말입니다. 등비수열인데 무한수열이란 말이죠. 그러니 아래와 같은 수열이 되겠습니다.

 

 

그러니 그냥 등비수열인 것 밖에 없습니다.

무한등비수열 의 수렴과 발산

 여기서 우리는 무한등비수열에서의 수렴과 발산에 대해서 조사하려고 합니다.

가장 간단한 등비수열을 생각합시다.  일 때를 생각 하는 것입니다. 이 때의 수렴과 발산을 생각 해 봅시다.

결과를 먼저 정리하고 설명을 하겠습니다.

해설

  일 때는 어떻습니까? 숫자를 이용해서 생각해보면 가장 간단한 예는 꼴이 될 것입니다. 그 경우는 계속 커지겠죠? 그러므로 로 발산합니다.

일 때는 가 되어 수렴합니다. 로 수렴하는 것이죠.

일 때는 대표적으로 , 일 때는 이 숫자를 계속 곱해나가면 당연히 에 다가 갑니다.

일 때는 의 경우는 꼴이 지속적으로 반복되게 되어 진동합니다. 즉 발산합니다. 

 인 경우에는 꼴은 진동하지만 절댓값은 계속 커집니다. 즉 이것도 발산하게 되죠.

엄밀성이냐? 직관적인 이해냐?

 여기서는 대충 직관적으로 설명을 드렸는데요. 여러분들이 만약 이 내용을 고등학교 과정에서 가장 엄밀하게 해결을 한다면 그렇게 쉬운 부분은 아닙니다. 그 부분의 증명은 수학적 귀납법을 이용하여 증명을 해야 됩니다. 지금의 기본강의는 극한의 개념 자체가 직관적으로 정의 되어 있기에 그냥 이렇게 넘어 가겠습니다.

 쌤 증명이 뭔지는 알고 싶어요.

 역시 유진이는 날카로워. 증명을 맨 뒤에 남겨 둘테니 한번 해 보세요.

0이 포함된 수열이 등비수열인가에 대한 논란

 등비수열이 에서 인 수열이 등비수열이냐? 하는 것이죠. 이 등비수열이냐? 라는 물음을 받기도 합니다. 외국에서 통용되고 있는 등비수열의 정의는 각 항이 이 아닌 수열을 등비수열이라고 한다. 라고 되어 있습니다. 즉, 이 수열은 등비수열이 아닙니다.

 

무한등비수열 의 수렴조건

 일단은 보통의 참고서를 가지고 설명을 하도록 하겠습니다.

우선 이면 이 어떤 숫자든 관계없이 수열의 항들은 모두 0이므로 수렴합니다. 엄밀하게는 무한등비수열은 아니라고 생각을 합니다만, 보통의 참고서에 그렇게 설명이 되어 있어 일단 그렇게 받아 들이기로 합시다.

방금 우리는 수열 의 수렴성에 대해서 본 적이 있습니다.

 일 때 수렴하죠.

그래서 우리는 아래와 같이 정리 할 수 있습니다.

 위의 결과에서 여러분들은 반드시 일 때도 수렴한다는 것을 정확하게 알아야 되고 이것이 시험의 낚시 포인트가 되겠습니다.

그러면 이와 관련된 문제를 풀어 보도록 합시다.

연습문제

 이 수렴하도록 하는 정수 의 개수를 구하시오.

주의점

 이 문제는 의 구조 인거 아시겠죠?

여기서 에 해당 되는 부분이 가 되고

은 가 됩니다. 낚시 포인트는

첫째항 즉, 이 되어야 되므로 도 포함된다는 것입니다. 조심하세요.

두 번째 낚시 포인트는 입니다. 을 포함한다는 것을 조심해야 겠죠

풀이

1) 이면 에 수렴한다.

2)  이면 에서

   

   

따라서, 1),2) 에 의하여 수렴하는 정수 는 이므로 5개이다.

(ⅰ) 일 때

   일 때, 모든 자연수

    에 대하여 임을 이용한다. 

   (수학적 귀납법으로 증명한다.)

   라 하면 이고, 

    

   

(ⅱ) 일 때

  ① 이면

  ② 이면 이므로 이다.

     

  따라서, ①, ②에서 이다.

 쌤 그런데 뭐가 빨개요?

 무슨 포미닛이야? 빨갛게.. 저건 빡공염 이었어.