[기본개념] 약수의 총합, 개수, 곱

포스트내용

확률과 통계에서 약수의 개수와 총합, 곱에 대한 강의 입니다. 그 외 순열과 조합에 관련된 강의는 이 곳을 클릭 하세요.

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  약수의 개수와 총합과 곱에 대해서 살펴 보도록 하겠습니다. 경우의 수에서 곱의 법칙과 연관된 내용이면서 등비수열의 합과도 관련이 있습니다.

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먼저 결과를 정리 하고 시작 합니다.

  완벽한 증명은 아니지만 예를 통해서 일반화 하겠습니다.

의 약수를 구해 봅시다.

를 소인수 분해 하면

 입니다. 이를 표로 그리면

 

분홍색 부분이 모두 약수가 됩니다.

가로는 세 칸, 세로는 네 칸 이니까 총 12칸이 되겠죠?

가로가 세 칸이 나오게 되는 이유는 의 존재 때문입니다.

지수 보다 각각 1씩 커지는 숫자 만큼을 곱하면 됩니다.

그래서

에서 약수의 개수는 개가 됩니다.

또한 위의 분홍색 칸에 있는 12개의 숫자의 합은

을 전개 하면 하나하나가 모두 위의 12개의 숫자중 하나에 대응됩니다.

그래서 약수의 총합은

가 됩니다.

약수의 곱은

의 약수를 생각하면

 입니다.

이들의 약수의 곱은

 

가 되어 가 되겠죠?

여기서 지수의 의 의미는 약수의 개수 개를 2로 나눈 것입니다.

따라서 24의 약수의 개수는

라고 할 수 있겠죠?

 약수의 개수가 홀수일 때는요?

  지금 하려 했는데 질문 참 잘했어요.

약수의 개수가 홀수 인 완전제곱수의 약수의 개수도 마찬가지입니다.

25의 약수는

 인데 

이들의 곱을

 

가 됩니다.

역시 의 약수의 곱도

가 되겠네요.

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 이제 방금 의 약수의 곱을 마지막으로 구합니다.

방금 했던 의 약수의 곱을 구해 볼까요?

의 약수의 개수는

이므로

각 지수에 을 더하여 곱하면

개입니다. 

그러므로 약수의 곱은

이 되겠습니다.

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