[보충] 자연수의 분할 P(n,2)
포스트내용
자연수의 분할 중는 쉽게 얻어 낼 수 있습니다. 이를 공식화 합니다. 숫자로 먼저 해 보고 일반화 하여 증명하는 과정을 다루고 있습니다.
자연수의 분할 공식 중에서 에 대해서 알아 보겠습니다. 결과부터 정리하면 아래와 같습니다.
이를 숫자로 해 볼까요?
이 짝수일 때 숫자로
는
두 수의 합이 가 되도록 하는 순서쌍입니다
로 두쌍이 있으므로
는
두 수의 합이 이 되도록 하는 순서쌍의 개수를 구하면 되죠?
으로 세쌍이 있으므로
이 짝수일 때 문자로 일반화하여 증명
위의 결과를 토대로 이 짝수일 때
로 두면
이고
개의 자연수 의 합으로 표현하면 가 구분되지 않으므로 순서쌍 의 개수를 구하면 됩니다.
가 되어
순서쌍의 개수는 개입니다.
이므로 가 되죠?
따라서 입니다.
이 홀수일 때 숫자로 연습
이제 이 홀수 일 때 볼까요?
를 구하면
하나 밖에 없습니다.
따라서
를 구하면
으로 두 쌍이 됩니다.
입니다.
이 홀수일 때 문자로 일반화 증명
로 두면
가 되고 (
마찬가지로 두 자연수 의 합이 이 되도록 하는 순서쌍은
가 되어
쌍이 됩니다.
이므로
이므로
입니다.
따라서, 가 되겠죠?
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