[기본개념] 매개변수로 나타내어진 함수의 미분법

 

내용

이  페이지에는
1. 매개변수로 나타내어진 함수의 뜻
2. 매개변수로 나타내어진 함수의 미분법
3. 타원을 매개변수로 나타내기
이렇게 3개로 구성 되어 있습니다.

개드립 시작

 누군가가 이성에게 마음을 표현할 때 두 가지 방법이 있습니다.

단박에 “나 너가 너무 좋다.”

아니면 친구에게 전합니다.

“야. 너 걔랑 친하지?” “걔한테 내가 좋아한다고 이야기 해줘.”

이렇게 두 가지 전략이 있습니다.

 뭐가 마음에 드니?

 와. 난 단박이 좋은데. 바로 누군가 와서 좋아 한다고 하면 기분이 좋을 것 같아요. 옆에서 소곤소곤하는 건. 좀 아니라고 봐요.

 그래도 갑자기 뜬금포를 날리면 이상하지 않나? 돌려서 이야기 한 다음 서서히 알게 한 다음 고백을 하는 것이 안 좋을까?

 아 그럴 수도 있겠네요.

 그게 뭐냐면? 미분가능한 전략이라고 해.

 예?

 마음의 준비가 될 수 있도록 서서히 연속이 되도록 하는 전략이지. 갑자기 뜬금포를 날리면 마음의 준비의 함수는 미분불가능한 것이야.

 ㅋㅋㅋ

 마음의 준비가 되도록 미분가능하게 하는 전략의 최고는

 

 

 

 

<박진영> 어머님이 누구니  (2015.4.11.)
마음의 준비가 미분가능하도록 하는 전략의 최고봉

 야~ 너 어머님이 누구니? 어떻게 너를 그렇게 낳으셨니? 이것은 돌려 말하기의 고단수가 아닌가 합니다.

 ㅋㅋ

개드립 끝

매개변수로 나타내어진 함수

 다시 돌아 와서 매개변수로 나타내어진 함수라는 것은 돌려 말하기입니다.

함수 을

이라고 표현을 할 수 있습니다. 여기서 를 매개변수라고 하고  를 그 매개변수로 나타낸 함수를 매개변수로 나타내어진 함수라고 합니다. 

이는 물체의 운동을 좌표평면에 나타낼 때 편하게 쓰일 수 있습니다. 좌표를 시간에 따라 움직이는 궤적을 각 좌표에 함수로 표현을 할 수 있는 것이죠?

 이번에 새로 개편된 기하와 벡터에서는 이 매개변수로 나타내어진 함수의 미분법이 중요할 가능성이 있습니다. 방금 말한 물리적인 내용들이 이번 기하와 벡터 과정에 많이 추가가 되었거든요.

매개변수로 나타내어진 함수의 미분법

 매개변수로 나타내어진 함수의 미분법은 라는 것에서

라고 표현을 할 수 있습니다. 이를 이용하여 미분을 할 수 있죠.

예를 들어 방금 에서

위의 방법대로 하면 이고 이므로

 

가 됩니다.

이런 식으로 미분을 할 수 있습니다.

 쌤 왜 그렇게 분자, 분모에 를 나눌 수 있죠?

이유 해설

 역시, 유진이는 언제나 날카롭네요.

의 표현은 의 표현을 간단히 한 것입니다.

그런데 라고 표현을 할 수 있죠? 원래는 엄밀하게 가 에 대해서 미분가능하다는 조건과 이라는 조건이 있어야 됩니다. 그렇게 되면 의 값이 존재하므로 분모가 으로 다가가면 분자도 으로 다가가야 되죠? 따라서 일 때 으로 갑니다.

그러므로

이렇게 쓸 수 있는 것이죠?

그런 다음 함수의 극한값에 대한 기본성질에 따라

이기 때문에

라고 놓을 수 있는 것입니다.

 아~~ 그렇네요.

 오~! 유진이 멋진데??

 와 복잡하네요.

 사실은 대충 해도 되는 부분이긴 해. 수학을 정확하게 하려면 위의 내용을 증명하세요. 

문제를 해결하는 것은 미분만 할 수 있으면 되는 것이니까 그렇게 어려운 것은 아닐 것입니다.

분자, 분모를 로 나눈 다는 것만 잘 기억하면 됩니다.

간단한 예제

 문제를 풀어 보세요.

매개변수 로 나타내어진 함수 에
대하여 의 값은?

 

에서
  

매개변수로 나타내어진 함수의 미분법을 이용하여 접선의 방정식 구하기

 위의 문제에서 일 때 의 값을 구했습니다. 위의 문제에서 이라고 했으므로 일 때는 이 됩니다. 그러니까 이거나 일 때의 접선의 기울기가 위의 답인 이 된다는 말입니다.

그러므로 접선의 기울기와 지나는 점을 알면 기울기와 접점이 주어졌을 때의 접선의 방정식을 공식을 이용하여 구할 수 있을 것입니다.

타원의 매개변수를 이용하여 함수로 표현하기

 타원의 경우 매개변수를 이용하여 함수로 표현 할 수 있습니다.

이것에 대한 내용은 다음에 기회가 될 때 정리하기로 하겠습니다. 이것에 대한 내용도 상당히 많습니다.

타원 은

 

라고 표현할 수 있습니다. 이를 통하여 아래 예제를 한번 해결해 보세요.

또한 쌍곡선 는

 

로 둘 수 있습니다. 를 이용한 것입니다.

고등학교 과정에서는 이렇게 치환합니다.

대학 수학에서는

 

로 치환해도 됩니다. 이것은 심심한 사람은 쌍곡선함수로 검색해서 알아보세요.

 아래는 타원을 매개변수화 하여 접선의 방정식을 구하는 예입니다. 한번 풀어 보세요.

타원 위의 한 점 에서의 접선의 기울기를 구하시오.

타원 을 매개변수를 이용하여 나타내면

         

이다. 따라서 , 이므로

         (단, )

점 에서 의 값을 구하면

        

답 :

 쌤, 이건 그냥 이차곡선의 접선의 방정식의 공식을 이용하면 안 되나요?

 그렇게 풀어도 되지만 위의 문제의 의도가 있습니다. 문제를 그냥 풀고 넘어 간다는 생각을 하는 학생들은 보통 3등급이하를 받는 학생들의 공통점입니다. 그런 방식으로 하면 절대로 높게 못 올라갑니다. 위의 문제를 풀면서 개념적인 도구를 만들어 나간다는 생각으로 임하세요. 참고로 위의 문제는 교과서 문제를 변형 했습니다.