[기본개념] 타원의 방정식

 

타원은 둥글고 길쭉한 원이란 뜻입니다. 수학적으로 타원의 정의가 무엇인지를 살펴 보죠.

 위의 그림처럼 일정한 길이의 실을 두 점 에 고정 시킨후 연필로 실을 팽팽하게 유지 하면서 그리면 타원을 얻어 낼 수 있습니다.

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타원에 있는 여러 가지 의미 있는 점들의  이름을 정해 줍시다. 포미닛의 정신 이지요? 이름이 뭐예요? 용어를 정리 하는 겁니다.

포물선과 마찬가지로 이제 타원을 좌표평면 위에 올려놓고 방정식을 얻어 내어 봅시다. 타원의 방정식인데요. 이를 먼저 정리 해 놓고 증명을 하도록 하겠습니다.

 

  이를 증명 할 텐데요. 타원의 방정식은 타원의 정의에서 시작 합니다. 두 정점 에서 이르는 거리의 합이 일정한 점의 자취라는 것 기억을 꼭 하세요. 조금 증명과정이 복잡하긴 한데요. 위의 내용 중 1)번에 대한 증명입니다.

	[증명]
	타원 위의 임의의 점을 라고 하면          ,  이고, 타원의 정의에 의하여         이므로         즉         이다. 이 식의 양변을 제곱하여 정리하면 이다.  다시 양변을 제곱하여 정리하면         이다.   여기서 이므로 으로 놓으면         이다.   이 식의 양변을 으로 나누면 다음과 같다.            [증명 끝]

  포물선 단원에서도 말씀 드렸듯이 타원의 공식도 암기해야 됩니다. 이를 확대 이동과 축소이동을 통해서 이것이 타원이 된다는 것도 쉽게 알 수 있는데요. 함수나 도형에서 대신 를 대입하면 축으로 배 만큼 축소 즉, 배가 되는 것이고 대신 를 대입하면 도형은 축의 방향으로 축을 기준으로 하여 배 확대 된 것입니다.

 즉 에서 이를 축을 기준으로 하여 배 확대 하면 대신 를 대입하면 식이 이 될 것입니다. 

그러면 아래에 문제 하나 풀고 넘어 갑시다.

 

타원 의 장축, 단축의 길이와 초점의 좌표를 구하고, 그 그래프를 그리시오.

 장축, 단축, 초점은 위에서 설명된 내용을 바탕으로 하면 쉽게 될 것입니다. 설마 표준형으로 고치는데 어려움이 있었던 건 아니 겠죠? 먼저 양변을 으로 나누어서 타원의 표준형으로 고쳐서 해결을 해야 됩니다. 방금 말씀드린거 너무 과잉친절했던 것은 아니죠?

주어진 포물선의 방정식을 변형하면

    

이므로 장축의 길이는 

이므로 단축의 길이는 

한편 이므로 초점의 좌표는

    

이고, 그 그래프는 아래 그림과 같다.

 이제 장축, 단축 초점의 관계를 보도록 하겠습니다.

 공식을 일일이 암기 하기는 참 어렵습니다.

 그래서 조금 쉬운 방법으로 접근 하고자 합니다.

 먼저 결과부터 결과는 처음에 보면 상당히 복잡해 보일 수 있는데

 타원의 정의를 바탕으로 쉽게 생각 해 볼 수 있도록 합니다.

장축, 단축, 초점의 관계

방정식
조건
타원의 그래프
초점의 좌표	,	,

 

공식만을 암기 다면 장축이 초점 위에 있다는 것을 기억하면 되고

초점의 좌표 또는 좌표는 로 생각합니다.

여기서 큰 수라는 것은 분모에 있는 숫자입니다. 예를 들어 아래 타원이 있습니다.

 

 이라고 하면 초점의 좌표는

㉠의 식에서 분모에 구성된 숫자를 보면 큰수가 이고 작은 수가 입니다.

즉 이지요. 또

한, 밑에 큰수가 있으니까 장축은 축 위에 있습니다.

초점은 좌표는 0 이고 좌표는 입니다.

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 식을 보고 바로 이렇게 판단하는 방법도 좋은 방법입니다.  그런데 조금 더 쉽게 암기 할 수는 없을 까요? 

  다시 그림을 봅시다.

 이 그림에서 타원을 해석하는데 중요한 선은 선분 입니다. 의 길이가 장축의 절반인 와 같습니다. 가 이등변 삼각형이기 때문에 가 되고 타원의 정의에 다라 이므로 의 길이가 가 되는 것이죠.

 그러면 는 직각삼각형이므로 피타고라스의 정리를 써서 선분 의 길이를 구하면 이 되므로 와 의 좌표를 쉽게 구할 수 있습니다. 다시 한번 정리 해 볼까요?

타원 문제에서의 장축, 단축, 초점의 관계에서의 해결 순서

❶ 타원을 그린다.
❷ 초점과 단축 위에 있는 꼭짓점에 선을 긋는다. (선분 )

❸ 선분 임을 이용하여 피타고라스의 정리를 이용한다.

그러면 위의 방법으로 한 번 해결해 볼까요?

제일 첫 문제는 위의 설명 방법대로 한번 해 보고

나머지는 일반적인 답안지를 그대로 넣었습니다.

 

 예제

두 초점 , 에서의 거리의 합이 인 타원의 방정식을 구하시오.

	[해설]
	두 초점에서 이르는 거리의 합이 이고 이것은 장축의 길이가 임을 의미 합니다. 방금 그림을 다시 봅시다. ​ 선분 의 길이는? 장축의 절반인 가 되겠고 선분 의 길이는 문제의 조건에 따라 가 되니 피타고라스의 정리에 의해서 이 되겠네요.   그러므로 타원의 방정식은 이 되겠습니다.

 

 

 

 

 

 

구하는 타원의 방정식을

        

이라고 하면 이고 에서

        ,

따라서 구하는 타원의 방정식은

           

두 정점 에서의 거리의 합이 인 점 의 자취의 방정식은?

두 정점으로부터 거리의 합이 일정한 도형은 타원이므로 구하는 타원의 방정식을 이라고 하자.

두 정점으로부터 거리의 합은 이므로

    

또, 에서 이므로

아래 그림은 타원 이다. 일 때,

의 좌표는?(단,

는 초점 )

①            ②

③       ④

⑤

초점이 축 위에 있으므로 점 에서 두 초점까지의 거리의 합은 이다.

즉,

따라서, 에서

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타원의 평행이동에 대해서 보겠습니다.

이건 결과부터 정리 하겠습니다.

타원   을 축의 방향으로 만큼 축의 방향으로 만큼 평행이동 시킨 타원의 방정식은

 도형이 이동될 때는 축으로 만큼 평행이동하면 대신에 을 대입하는거 이거 두 말하면 잔소리죠? 저는 아이유가 아니기 때문에 더 이상 잔소리 안합니다.

그렇다면 초점, 꼭짓점, 중심도 같이 평행이동 되겠지요?

 

 

 

뭐 포스팅을 날로 먹냐구요??

쌍곡선의 평행이동 때도 대충 설렁 할 겁니다.

 

자 그럼 이 식

을 전개 해 봅시다. 그렇다면 타원의 방정식의 일반형을 얻어 낼 수 있겠네요.

위처럼 깔끔하게 정리 될 수 있겠죠.

일반형을 표준형으로 고치면 타원의 정보를 한 눈에 얻어 낼 수 있을 것입니다.

방정식 이 나타내는 도형을 그리시오.

주어진 방정식을 변형하면

        ∴

따라서 이 방정식이 나타내는 도형은 타원 을

        축의 방향으로 만큼,

        축의 방향으로 만큼

평행이동한 타원이고, 그 그래프는 아래 그림과 같다.

 

방정식 이 나타내는 도형을 그리시오.

주어진 방정식을 변형하면

 

 

따라서 주어진 방정식이 나타내는 도형은 타원 을 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 타원이고, 그 그래프는 아래와 같다.

타원 의 두 초점을 라 하고,
타원 의 두 초점을 이라 할 때, 의 넓이는?

에서

또, 초점 는 초점 를  축 방향으로 만큼, 축 방향으로 만큼 평행이동한 것이므로

(의 넓이)(평행사변형의 넓이) (밑변)(높이)

                       

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