[기본개념] 두 곡선이 한 점에서 접할 때

포스트내용

 두 곡선이 한 점에서 접할 때의 접선의 방정식을 구하는 강의입니다. 또 다른 미적분1의 미분에 대한 개념을 보려면 여기를 누르시고 미적분2의 미분의 개념을 보려면 여기를 누르세요.

접선의 방정식

 우리는 접선의 방정식을 배울 때 접점의 좌표와 기울기만 주어지면 접선의 방정식을 얻어 낼 수 있었습니다. 이제는 두 곡선이 한 점에서 동시에 접할 때 문제를 해결하는 방법에 대해서 알아 보겠습니다.

와 가 주어져 있을 때 아래 그림처럼 한 점에서 동시에 접한다고 합시다.

이 때 접점의 의 좌표를 라고 두면

접선은 하나로 결정됩니다.

접선을 결정할 때 접점과 기울기가 주어지면 된다. 기억나죠?

접점이 같을 조건은 이고

접선의 기울기도 같아야 하므로 가 됩니다.

그래서 아래와 같이 정리 할 수 있습니다.

예제 및 연습

두 곡선 가 점 에서 접할 때 의 값을 구하시오.

 

라 두면 점 에서 접한다고 했으므로

를 이용하면 끝!!!

, 로 놓으면 두 곡선이 점 에서 접하므로

 ,

 ,

, 에서

   

㉠,㉡에서 , ,

두 곡선 , 가 한 점에서 접할 때, 상수 의 값은?

 

위의 문제에서는 접하는 점이 어디인지 알 수 없으므로 접점의 좌표를 로 두는 것이 포인트입니다.

위의 두 식을 이용하여 연립하면 끝!!!

 , 로 놓으면

,

두 곡선이 인 점에서 접한다고 하면,

에서

 에서

 

㉡을 ㉠에 대입하여 정리하면,

 

 

 ( )

을 ㉡에 대입하면